Probabilité terminale ES avec combinaison et permutation

[cabby]

Bonjour
:we:
Je souhaiterai avoir un coup de main sur un exo de proba. je vous mettrai mon raisonnement et là où je ne comprends pas mon erreur.
C'est surtout pour la question 2. que j'ai du mal

1. Une grande enveloppe contient 12 "figures" d'un jeu de cartes: 4 rois, 4 dames et 4 valets. On tire simultanément et au hasard 5 cartes de l'enveloppe. Soit X la variable aléatoire qui a chaque tirage associe le nombre de rois obtenus.
Déterminer la loi de X
Pour la suite je vais noter C(1,2) pour C de 1 parmi 2 par ex
L'univers de X doit être: 0, 1, 2, 3 et 4

Je trouve pour : p(X=0) = C(5,8) / C (5,12)= 7/99
p(X=1) = ( C(1,4)*C(4,8) ) / C (5,12)= 35/99
p(X=2) = ( C(2,4)* C(3,8)) / C (5,12)= 14/33
p(X=3) = ( C(3,4)* C(2,8)) / C (5,12)= 14/99
p(X=4) = ( C(4,4) * C(1,8)) / C(5,12)= 1/99


est-ce que c'est bon d'après vous? La somme des proba fait bien 1

C'est surtout la 2. qui me pose souci

2. Dans la même enveloppe contenant les mêmes 12 cartes on effectue successivement 5 fois le tirage au hasard d'une carte que l'on remet à chaque fois dans l'enveloppe. Soit Y la var. aléat dont la valeur est égale au nombre de rois obtenus au cous des 5 tirages. Déterminer la loi de Y

J'ai trouvé comme univers: 0 à 5
Mais au niveau du calcul des prob je ne suis pas très sûr:

p(Y=0) = (8*7*6*5*4)/(12*11*10*9*8) = 7/99 car on ne peut tirer que des dames ou des valets donc parmi 8 cartes du jeu
p(Y=1)= (4*8*7*6*5) / (12*11*10*9*8)= 7/99 pour moi il faut mettre "4" en tête car c'est le nombre de rois qu'il y a dans le jeu. Maintenat, je suis bien tenté de rajouter 5 en facteur au numérateur car pour moi il y a 5 positions au choix pour le roi pris. Qu'est-ce que vous en pensez?
p(Y=2)= je ne trouve pas
p(Y=3)= (4*3*2*8*7)/ (12*11*10*9*8)= 7/495

p(Y=4) et Y=5 je ne trouve pas non plus car je me demande s'il faut tenir compte du nombre de choix possible de position de position différentes pour les rois comme j'ai fait au dessus

Merci d'avance pour vos éclaircissements

[becirj]

Bonsoir
Pour la question 1, je suis d'accord.
Question 2. Il s'agit de tirages avec remise donc à chaque fois il y a 12 posiibilités, comme on tire 5 fois de suite, le cardinal de l'univers est
La probabilité de n'avoir aucun roi est donc . Je traite un autre cas : la probabilité d'avoir 2 rois. Pour tirer un roi, il y a 4 possibilités, pour une autre carte 8 possibilités.
Pour tirer par exemple : (roi, autre carte, autre carte, roi, autre carte), le nombre de possibilités est 4x8x8x4x8.
Mais il y a d'autres ordres possibles, un tel tirage est fixé par la position des 2 rois parmi les 5 cartes et le nombre de positions possibles est . En définitive, la probabilité de tirer 2 rois est

Bon courage pour la suite

[cabby]

Merci beaucoup pour ta réponse et tes explications. C'est beaucoup plus clair maintenant

J'ai tout de même une dernière question: il faut calculer les expérances mathématiques des 2 var aléat et là j'obtiens les mêmes. Est-ce qu'on peut en déuire quelque chose c'est une question que je me pose personnellement à savoir que les 2 sonbt tout le temps équivalent que ce soit avec ou sans remise ou est-ce que c'est du pur hasard?

[cabby]

voici les résulats pour le 2 avec remise:
a= 12^5 comme tu l'as expliquer la cardinalité de l'univers si je ne me trompe pas pour l'expression
p(Y=0) = 8^5/12^5= 32/243
p(Y=1) = (4*8^4*5) / a = 80/243
p(Y=2) = (4²*8²*10)/ a = 80/243
p(Y=3) = (4^3*8²*10) / a = 40/243
p(Y=4) = (4^4*8*5) / a= 10/243
p(Y=5) = 4^5/a=1/243

E(Y)= 1,66
Est-ce que c'est bon?

Une question pour finir: quand on demande d'arrondir par ex à 10^-2 on met quoi pour donner le résultat? Le signe "=" ou arrondi? J'ai un prof qui était pointilleux et si j'ai bonne mémopire il me retirait des 1/2 points un peu comme les tangentes horizontales de minimas et maximums locaux ou globaux non tracés.

Merci par avance

[becirj]

Les calculs sont bons !
Quant à la question que tu poses concernant les deux espérances qui sont égales, je n'ai pas de réponse immédiate.

Pour les arrondis à , pour moi, il ne faut pas utiliser le signe "="

[cabby]

Merci beaucoup pour l'aide donc j'écris le signe environ ce qui semble logique.

Merci encore et pour l'autre question ça n'est rienc'étaie comme ça en passant