Permutation de chiffre et divisibilité

[Françoisdesantilles]

Bonjour, j'ai tenté de faire cet exercice avec des "formules simples" ,mais je n'ai pas tout compris :
On décide de former des nombres dans le système décimal en écrivant de gauche à droite 4 chiffres consécutifs dans l'ordre croissant, puis en permutant les 2 chiffres de gauche.
Ex : 5467
démontrer que tous les entiers obtenus sont divisibles par 11.

Je sais qu'il y a une vieille règle de divisibilité qui dit ceci : le nombre qui s'écrit abcdef... en décimal est divisible par 11 si et seulement si a-b+c-d+e-f+... est divisible par 11.
Dans mon cas 5-4+6-7=0 , or 0 est divisible par 0 donc ça marche.
Mais de manière général si 4= a, 5 =a+1 , 6 =a+2, 7=a+3
Et (a+1)-a+(a+2)-(a+3)=1+2+a-a-3=0 or 0 divisible par 11 donc tout nombre de cette forme sera divisible par 11.
Certain utilise les congruences ou des puissances de 10 mais je maitrise pas trop ça.
J'aurai voulu trouver un exercice similaire

[issoram]

Bonjour,

On pose :
- N l'entier formé tel que dans ton énoncé
- k l'entier correspondant au chiffre des centaines du nombre N

1) Comment s'écrivent les chiffres des milliers, des dizaines et des unités de N?
2) Comment peux-tu écrire le nombre N en fonction de k?
3) Conclusion?

[catamat]

Bonjour

Ce que vous faites c'est justement d'utiliser les congruences modulo 11

Prenons le nombre abcd en base 10 soit 1000a+100b+10c+d

10 est congru à -1 modulo 11 car 10-(-1) est multiple de 11
100 est congru à +1 modulo 11 car 100-(+1) est multiple de 11
1000 est congru à -1 modulo 11 car 1000-(-1) est multiple de 11

donc 1000a+100b+10c+d est congru à -a+b-c+d modulo 11

[issoram]

Il n'y a absolument pas besoin des congruences pour résoudre cet exercice. C'est un exercice ne nécessitant que des notions basiques d’arithmétique (niveau 3eme).

[Françoisdesantilles]

Bonjour,

On pose :
- N l'entier formé tel que dans ton énoncé
- k l'entier correspondant au chiffre des centaines du nombre N

1) Comment s'écrivent les chiffres des milliers, des dizaines et des unités de N?
2) Comment peux-tu écrire le nombre N en fonction de k?
3) Conclusion?

Ah bin oui vu comme ça on a :
Le nombre N en question s'écrit : 1000(k+1) + 100k + 10(k+2) + (k+3) = 1111k + 1023.
Mais, 1111k + 1023 = 11(101k + 93).
Ceci prouve qu'un tel nombre est divisible par 11.
Merci beaucoup!
je comprend des choses mais il faut que je bosse plus, et que je sois plus rigoureux

[Françoisdesantilles]

Bonjour

Ce que vous faites c'est justement d'utiliser les congruences modulo 11

Prenons le nombre abcd en base 10 soit 1000a+100b+10c+d

10 est congru à -1 modulo 11 car 10-(-1) est multiple de 11
100 est congru à +1 modulo 11 car 100-(+1) est multiple de 11
1000 est congru à -1 modulo 11 car 1000-(-1) est multiple de 11

donc 1000a+100b+10c+d est congru à -a+b-c+d modulo 11

Ah bin oui vu comme ça c'est plus clair merci!

[issoram]

Le nombre N en question s'écrit : 1000(k+1) + 100k + 10(k+2) + (k+3) = 1111k + 1023.
Mais, 1111k + 1023 = 11(101k + 93).
Ceci prouve qu'un tel nombre est divisible par 11.
Merci beaucoup!
je comprend des choses mais il faut que je bosse plus, et que je sois plus rigoureux

Faut pas hésiter à se lancer, y avait rien de compliqué