Bonjour,
je souhaiterai savoir comment on étudie rigoureusement une périodicité.
Lorsqu'on me demande de déterminer la périodicité d'une fonction, je trouve une période tel que f(x+T) = f(x). Mais cela me semble insuffisant car je ne montre pas que cette période T est la plus petite possible!! comment faire pour démontrer que T est la plus petite période?
Merci de votre aide.
Bonne soirée
Un Pcsi (et oui!!)
Périodicité
5 messages
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par Zeitblom » 28 Oct 2005, 19:25
Tu fais bien de te poser la question, car ce n'est pas évident du tout.
D'abord évacuons le cas où ta fonction (qu'on va prendre de R dans R) est constante : dans ce cas tout réel est une période, donc on aura du mal à en trouver un plus petit.
Regardons maintenant le cas de l'application qui à tout réel associe 1 s'il est rationnel, 0 sinon. Elle est visiblement discontinue. Tu peux vérifier que tout rationnel est une période de cette fonction : là non plus on ne pourra pas en trouver un plus petit que les autres.
Supposons maintenant ta fonction continue et périodique. Soit G l'ensemble des périodes. Il n'est pas réduit à 0 par hypothèse, et je te laisse vérifier que c'est un sous groupe de (R,+). Or, on sait (où si on ne le sait pas on fait l'exercice archi-classique) que les sous groupes de (R,+) sont ou bien discrets (de la forme aZ={ak|k appartenant à Z}) ou bien denses dans R. Si G est dense dans R, on peut, en utilisant la continuité de f, montrer que cela implique que f est constante, ce qui est impossible. Donc G est de la forme aZ, dont le plus petit élément (soit la plus petite période) existe (et est a).
D'abord évacuons le cas où ta fonction (qu'on va prendre de R dans R) est constante : dans ce cas tout réel est une période, donc on aura du mal à en trouver un plus petit.
Regardons maintenant le cas de l'application qui à tout réel associe 1 s'il est rationnel, 0 sinon. Elle est visiblement discontinue. Tu peux vérifier que tout rationnel est une période de cette fonction : là non plus on ne pourra pas en trouver un plus petit que les autres.
Supposons maintenant ta fonction continue et périodique. Soit G l'ensemble des périodes. Il n'est pas réduit à 0 par hypothèse, et je te laisse vérifier que c'est un sous groupe de (R,+). Or, on sait (où si on ne le sait pas on fait l'exercice archi-classique) que les sous groupes de (R,+) sont ou bien discrets (de la forme aZ={ak|k appartenant à Z}) ou bien denses dans R. Si G est dense dans R, on peut, en utilisant la continuité de f, montrer que cela implique que f est constante, ce qui est impossible. Donc G est de la forme aZ, dont le plus petit élément (soit la plus petite période) existe (et est a).
par krou » 28 Oct 2005, 20:52
Tu auras du mal à trouver ca dans ton bouquin vu qu'en France, la théorie des groupes est au programme de 1re année de fac :)
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