Périodicité - équation polaire

par **Anonyme** » 26 Jan 2006, 15:06

Bonjour,

Voilà je cherche la méthode pour calculer la périodicité d'une équation polaire.
Si toutefois cette phrase a un sens...

J'ai par exemple l'équation suivante : r = cos((7 * teta) / 2)
Je crois avoir vérifié par l'observation que la courbe correspondante est périodique de période 4 PI.
Cependant, je ne sais pas le trouver par le calcul.

Il me semblait qu'il fallait faire comme ceci :
-cosinus est 2PI-périodique donc r est
(2 * PI) * (2 / 7) soit 4*PI / 7 - périodique.
Mais cela ne correspond pas du tout à 4 PI.

Merci de m'éclairer !
Cordialement,
Jean.

par **tigri** » 26 Jan 2006, 15:13

bonjour

appelons x la période cherchée, elle doit vérifier:
cos[ 7(têta+x)/2] = cos (7têta/2)

tu dois pouvoir avancer avec çà

par **Anonyme** » 26 Jan 2006, 15:17

Merci de cette réponse rapide.
Cependant, je ne vois pas trop ce qu'il faut que je fasse avec ceci.
Désolé je ne suis pas très fort en maths.

par **tigri** » 26 Jan 2006, 15:25

quand tu as une équation du type cosx = cos y l'une des conséquences est :
x=y +k*2pi
avec çà tu devrais en déduire une valeur de x pour laquelle tu pourras vérifier la propriété souhaitée, c'est à dire celle de période

par **tigri** » 26 Jan 2006, 15:49

donc
(7têta+7x)/2 = 7têta/2 + k2pi où k entier relatif

d'où 7x/2 = k2pi soit x= k4pi/7

on vérifie que 4pi/7 est bien période en calculant cos [7(têta+4pi/7)/2]
c'est cos [(7têta+4pi)/2]
soit cos[7têta/2 + 2pi]
soit cos (7têta/2) puisque 2pi est période du cosinus

cqfd

par **Anonyme** » 26 Jan 2006, 16:12

D'accord merci.

En fait, ce n'est pas ce que je cherchais mais ça m'aidera quand même.

Je fais de l'infomatique graphique et ce que je cherchais, c'est l'intervalle sur laquelle je dois faire varier teta pour que ma courbe soit compête.
Alors je remarque qu'en faisant varier teta sur [-2PI/7; 2PI/7]
j'obtiens une des boucles de la rosace de Grandi.
Avec r = cos((7 * teta) / 2) toujours.
Ce qui est assez logique.

Voilà alors, comment s'appelle cette intervalle minimale pour laquelle je dois faire varier teta afin que ma courbe soit compete ? Et comment puis-je la trouver par le calcul de manière générale ?

Merci encore pour votre intérêt.
Cordialement,
Jean.

par **tigri** » 26 Jan 2006, 16:18

c'est bien çà: la courbe est complète à condition de l'étudier sur une période: 4pi/7 peut-être pris entre 0 et 4pi/7 , ou -2pi/7 et 2pi/7 ou autres intervalles bien sûr

NB: le plus petit intervalle sur lequel la courbe se reproduit identique à elle-même , s'appelle période de la fonction

par **Anonyme** » 26 Jan 2006, 16:39

Hé bien en fait, si je ne prends que [0, 4PI/7] ou autre...
Je n'ai qu'un morceau du graph. Juste ce morceau répétitif.
Si je fais varier teta sur l'intervalle [-2PI, 2PI]
là j'obtiens la rosace compete !

Avec l'equation r = cos(7teta/10)+1/3
Il me faut faire varier teta sur [-4PI, 4PI] !
Mais à chaque fois, je trouve la bonne intervalle en tatonnant alors que je souhaiterais pouvoir le faire par le calcul !

par **tigri** » 26 Jan 2006, 17:04

on va peut-être finir par en comprendre un peu plus!!

ce fameux 4pi/7 c'est donc le plus petit intervalle qui donne les variations complètes de r
un point de la courbe a pour coordonnées (r,têta)
quand têta varie de 0 à 4pi/7 (ou de -2pi/7 à 2pi/7) cea donne toutes les variations possibles de r, mais le"balayage " du plan par le segment OM n'est complet que si on fait un tour complet : donc 7fois plus

est-ce que çà peut être çà l'idée? d'où la rosace complète dans -2pi, 2pi

par **Anonyme** » 26 Jan 2006, 17:54

J'imagine que oui.
Merci. :)

par **tigri** » 26 Jan 2006, 18:05

Il n'y a pas de quoi! c'était intéressant!

Périodicité - équation polaire

Périodicité - équation polaire

Qui est en ligne