Périodicité dans la dérivation

[Dinozzo13]

Bonjour, je sais que les fonctions de la forme ou encore sont dites de classe , néanmoins j'ai trouvé qu'il y avait une période pour laquelle, lorsqu'on dérive, on retombe sur la fonction initiale. Par exemple :
La dérivée d'ordre n est donc : (après tout calculs)
si , alors .
si , alors .
si , alors .
si , alors .
Ici la période est bien de 4 car si on dérive on retombera sur la même fonction que ,il est évident de voir qu'il en est de même pour le sinus. Cela vous emble-t-il correct ? ou avez-vous quelque chose à rajouter ? merci d'avance ^^

[Clembou]

Bonjour, je sais que les fonctions de la forme ou encore sont dites de classe , néanmoins j'ai trouvé qu'il y avait une période pour laquelle, lorsqu'on dérive, on retombe sur la fonction initiale. Par exemple :
La dérivée d'ordre n est donc : (après tout calculs)
si , alors .
si , alors .
si , alors .
si , alors .
Ici la période est bien de 4 car si on dérive on retombera sur la même fonction que ,il est évident de voir qu'il en est de même pour le sinus. Cela vous emble-t-il correct ? ou avez-vous quelque chose à rajouter ? merci d'avance ^^

Pour parler en terme d'équations différentielles, les fonctions et vérifient les équations différentielles suivantes :




:++:

Alors maintenant la question qui se pose, est-ce que est de classe , (ensemble des fonctions de dans ) et :

"Si est périodique, est-ce que , , ... sont périodiques"

et

"Peut-on trouver une fonction tel que il existe un qui vérifie l'équation différentielle suivante :
"

[egan]

Tu as d'autres fonctions où tu as une "dérivation périodique".
, k constante réelle, vérifie l'équa. diff. , n entier naturel non nul.
, k constante réelle, vérifie l'équa. diff. , p entier naturel non nul.
Tu auras aussi les fonctions cosinus et sinus hyperboliques qui vérifient l'équa. diff. , p entier naturel non nul et donc également les fonctions kcosh x et ksinh x , k constante réelle.

D'ailleurs d'une manière générale, si on considére m, n, p trois entiers naturels non nuls fixés, k entier naturel non nul quelconque et trois fonctions u, v, w définies et dérivables sur le même intervalle I telles que:
u vérifie l'équa. diff.
v vérifie l'équa. diff.
w vérifie l'équa diff.
Alors la fonction f définie et dérivable sur I par:
f(x)=u(x)+v(x)+w(x) vérifie l'équa. diff.
Cette propriété peut se généraliser à n fonctions, n entier naturel supérieur ou égal à 2.

[egan]

D'ailleurs le fait que les fonctions sinus et cosinus vérifient l'équa. diff. , k entier naturel non nul se retrouvent aussi avec les expressions:

[Dinozzo13]

OK merci à vous :ptdr:

[egan]

Alors maintenant la question qui se pose, est-ce que est de classe , (ensemble des fonctions de dans )

Si f et g sont de classe , alors F est de classe normalement.

[Dinozzo13]

je suis d'accord ^^

[egan]

"Si est périodique, est-ce que , , ... sont périodiques"

Je ne suis pas sûr de mon coup mais je me lance.
On s'interresse à F'(x), F''(x).... donc F est dérivable sur un intervalle I appartenant à son ensemble de définition donc elle est continue sur I. On a I inclus dans DF.
F est périodique donc:
F(x+a)=F(x), x réel, a réel strictement positif avec (x+a) appartenant à I.
pour tout x appartenant à I.

car F périodique de période a.

car (x+a) appartient à I et que F continue sur I.

Donc F'(x+a)=F'(x).
Donc si une fonction est périodique de période a, définie et dérivable sur un intervalle I, alors sa dérivée sera définie, et périodique de période a sur I.
De plus si cette fonction de départ est de classe , toutes ces dérivées d'ordre n, n entier naturel non nul, seront périodiques de périodes a, définies et dérivables sur I.
Donc toute les dérivées n-ièmes de F sont périodiques si F est de classe , sinon ces dérivées n-ièmes, n entier naturel non nul, n'existent pas.

[egan]

"Peut-on trouver une fonction tel que il existe un qui vérifie l'équation différentielle suivante :
"[/I]

On doit certainement pouvoir en trouver un paquet mais en voilà une.
F(x)=cosx + sinx
F'(x)=-sinx + cosx
F''(x)=-cosx - sinx
F'''(x)=sinx - cosx
F''''(x)=cosx + sinx
F'''''(x)=-sinx + cosx
F''''''(x)=-cosx - sinx

Donc on a bien

En dérivant F(x)=f(x)cosx + g(x)sinx un certains nombre de fois je pense que l'on peut arriver à établir une relation de récurence.
Au pire on calcule F''(x) et une des dérivées suivantes, en identifiant membres à membres, on pourrait trouver un système d'équations différentielles, que je ne sais pas pour le moment résoudre.