Pentagone et nombre complexe

[arhuma7312]

Bonjour, voila mon problème :
On pose w=e^(2iPI/5)
1)A partir du système X=w+1/w et X^2+X-1=0 , montrer que w+w^4 et w^2+w^3 sont des solutions.
Pour le premier j'ai trouvé mais pour le deuxième, ai je droit de transformer w en e^(i4PI/5) ou alors je me suis trompé ?

2)Montrer que w^4=conjugué de w . (fait). En déduire que cos2PI/5=((racine5) -1) /4.
Ici, je calcule les racines de X2+X-1=0 donc X1=(-1- (racine5)) /2 et X2=(-1+(racine5)) /2. Mais à partir de là que fait on ?

3)A partir de cercle de centre A d'affixe 1/2 passant par B d'affixe i, en déduire la construction à la règle et au compas de cos(2PI/5) et cos (2PI/n). Aucune idée.

Merci d'avance.

[mathelot]

pour la (2) , cos() est décroissante sur l'angle le plus fermé a le cosinus le plus grand.

[Rizmoth]

"ai je droit de transformer w en e^(i4PI/5) ou alors je me suis trompé ? "

Tu veux dire que e^(i2PI/5) = e^(i4PI/5) ?

Non, attention, ce n'est pas le cas. En revanche tu retombes sur un nombre complexe égal si tu ajoutes k * 2PI à l'argument. Ainsi, par exemple :
e^(i2PI/5) = e^(i2PI/5 + 2PI) = e^(12PI/5)
e^(i2PI/5) = e^(i2PI/5 - 2PI) = e^(-8PI/5)

[arhuma7312]

Merci de vos réponses, donc pour la (2), j'ai compris mais pour la conclure j'aurais besoin de la réponse à la question 1).
Nan je me demandais si le w du système X=w+1/w et X^2+X-1=0 était forcément le w du début, si non pourquoi ? Si oui, comment faire pour trouver que w^2+w^3 est une solution du polynôme ?

Et pour la 3) des idées ?

[mathelot]

pour la (1)



on développe et on réduit modulo 5 , car

[arhuma7312]

Merci, mais ensuite comment comparer les arguments des deux solutions w+w^4 et w^2+w^3 pour utiliser ce que vous m'avez dit précédemment ?

[Rizmoth]

Pour une simple remarque :

w + w^4 = w + w* = 2 * Re(w).
Autrement dit, un nombre réel, dont l'argument est nul (modulo 2PI)

Ainsi, arg(w + w^4) = 0 [2PI]

J'ignore si cela sert ensuite.

[mathelot]

pour la (1)



on développe et on réduit modulo 5 , car

développons.

[mathelot]

Montrer que



rappel:

les partitions de l'entier 5

3+2
1+4

donnent des paires conjuguées:

[arhuma7312]

Merci, mais une fois démontré cela, on a deux solutions w+w^4 et w^2+w^3 soit l'une égale à X1=(-1- (racine5)) /2 et l'autre à X2=(-1+(racine5)) /2 ou le contraire , je cherche surtout à démontré comment prouver que w+w^4=X2 ? (peut -être montrer que l'argument de un est 0 et l'autre PI par exemple mais je ne vois pas comment faire)

[chan79]

Merci, mais une fois démontré cela, on a deux solutions w+w^4 et w^2+w^3 soit l'une égale à X1=(-1- (racine5)) /2 et l'autre à X2=(-1+(racine5)) /2 ou le contraire , je cherche surtout à démontré comment prouver que w+w^4=X2 ? (peut -être montrer que l'argument de un est 0 et l'autre PI par exemple mais je ne vois pas comment faire)

c'est un nombre positif



Pour la construction:
Calcule AB avec Pythagore
Trace le cercle de centre A et de rayon 1/2
puis une médiatrice

[mathelot]

dans ton équation du second degré


comme d'une part, d'autre part sont racines,

on a pour les deux racines:

- une expression avec radicaux (=racines carrées)
- une formule close de la forme

on identifie les deux formules, sachant qu'un des cosinus est positif, l'autre est négatif.

[arhuma7312]

Dans mon exercice, voila l'énoncé de 3) : A partir de cercle de centre A d'affixe 1/2 passant par B d'affixe i, en déduire la construction à la règle et au compas de cos (2PI/n).
Est ce possible ?
Je soupçonne une erreur, ce serait plutôt cos(2PI/5) mais je ne suis pas sur.

[mathelot]

oui, c'est

thm de Gauss
Les polygones réguliers construisibles à la règle non graduée et au compas,
sont ceux dont le nombre de côtés n est de la forme

ou où les
sont tout à la fois des premiers distincts et des nombres de Fermat, donc de la forme