Trigonométrie 1er S ( pentagone régulier )

[jo6280]

Bonjours à tousnj'ai un exercice de trigonométri que je ne comprends pas trop,merci de votre aide


Pentagone régulier, lignes trigonométriques de 2pi/5:

ABCDE est un pentagone régulier direct inscrit dans le cercle trigonométrique C de centre O.

1) a) indiquer les mesures des angles orientés (OA,OB), (OA,OC),(OA,OD),(OA,OE) (ce sont des vecteurs)

b) exprimer les vecteurs OB+OE et OC+OD en fonction du vecteur OA.

2) a) On appelle Oméga l'isobaricentre des points A,B,C,D,E.Démontrer que Oméga est le barycentre des points pondérés:
(0;-5) et (A; 1+2cos (2pi/5)+ 2 cos (4pi/5))

b) on considère la rotation de centre O et d'angle 2pi/5. Comment transfome t- elle le pentagone ABCDE? En déduire que Oméga, O et B sont alignés

c) que peut on en conclure pour le point teta et pour: 1+2cos (2pi/5)+ 2 cos (4pi/5)

3) a) Résoudre l'équation 4x²+2x-1= 0 dans R (réél)

b) démontrer que cos 2pi/5 est solution de cette équation

c) en déduire la valeur de cos 2pi/5 ainsi que celle de sin 2pi/5

[jo6280]

Voici mes "débuts" de réponses :

1)a)
(OA,OB) = 2Pi/5
(OA,OC) = 4Pi/5
(OA,OD) = 6Pi/5
(OA,OE) = 8Pi/5

b)

vect(OB) = vect(OA).(cos(2Pi/5)*vecteur (i) + sin(2Pi/5)*vecteur(j))
vect(OE) = vect(OA).(cos(8Pi/5)*vecteur (i) + sin(8Pi/5)*vecteur(j))

vect(OB) + vect(OE) = vect(OA).(cos(2Pi/5)+cos(8Pi/5)*vecteur (i) + (sin(2Pi/5)+sin(8Pi/5)*vecteur(j))

vect(OB) + vect(OE) = vect(OA).(2.cos(Pi).cos(3Pi/5)*vecteur 2(i) + (sin(Pi).cos(3Pi/5)*vecteur2(j))
vect(OB) + vect(OE) = -2.vect(OA).cos(3Pi/5)
vect(OB) + vect(OE) = -2.cos(3Pi/5). vect(OA)


vect(OC) = vect(OA).(cos(4Pi/5)*vecteur (i) + sin(4Pi/5)*vecteur(j))
vect(OD) = vect(OA).(cos(6Pi/5)*vecteur (i) + sin(6Pi/5)*vecteur(j))

vect(OC) + vect(OD) = vect(OA).(cos(4Pi/5)+cos(6Pi/5)*vecteur (i) + (sin(4Pi/5)+sin(6Pi/5)*vecteur(j))

vect(OC) + vect(OD) = vect(OA).((2.cos(Pi).cos(Pi/5)*vecteur 2(i) + (sin(Pi).cos(Pi/5)*vecteur2(j))
vect(OC) + vect(OD) = -2.vect(OA).cos(Pi/5)
vect(OC) + vect(OD) = -2.cos(Pi/5).vect(OA).




PS: je ne sait pas si au 1)b) j'ai bon car les résultats me semble faux,si il y a des erreurs ou des aides pour els autres question allez y =D :we:

[bombastus]

Bonjour,
ta première ligne (au moins) du b est fausse :
vect(OB) = vect(OA).(cos(2Pi/5)*vecteur (i) + sin(2Pi/5)*vecteur(j))
car le membre de droite n'est pas un vecteur.

On a
vect(OB) = cos(2Pi/5)*vecteur (i) + sin(2Pi/5)*vecteur(j)
Et je suppose que vect(i)=vect(OA) (en fait tout dépend de ton dessin...)

[jo6280]

J'ai trouver plus simple :

OB + OE = OH
tel que OBHE soit un parallélogramme (c'est même un losange car OB = OE : il a deux côtés consécutifs de même longueur)
OBHE est un losange, ses diagonales se coupent en leur milieu F et perpendiculairement, on a donc :
OB + OE = OH
= 2cos 2PI /5 OA


Même chose pour OC + OD :
OC + OD = 2 cos 4 PI/5 OA



Voila =) c'était le dernier truc a finir dans mon exercice ( car un ami vient juste de m'aider a le finir )

J'attends votre confirmation (pour que la discussion soit close)ou votre contradiction pour que je corrige!

[bombastus]

Ca me parait correct.

C'est vrai qu'avec la première méthode, cela aurait été beaucoup beaucoup plus long...

[lapras]

Bonsoir,
pour montrer que O est l'isobarycentre de ABCDE c'est encore plus simple.
Prends la rotation de centre O
le barycentre de l'image de ABCDE par une rotation de centre O est l'image du barycentre de ABCDE par cette rotation.
Or ta figure reste inchangée par rotation, donc le le barycentre des images reste invariant. donc l'image du barycentre reste invariante.
Or le seul point qui reste invariant par une rotation c'est le centre de cette rotation qui doit donc etre l'isobarycentre de ABCDE.
Apres tu peux calculer cos(2pi/5) tres facilement !