Optimisation !

[Lostounet]

Bonsoir,

J'ai besoin d'aide pour un exo d'approfondissement... Le dernier du manuel
Je pense que mon problème est lié à un passage fallacieux dans ma démonstration...

Voici l'énoncé:
On souhaite inscrire une sphère de rayon R = 6 cm dans un cône de révolution tel que son volume soit minimal. Quelles sont ses dimensions?


Ce que j'ai voulu essayer c'est exprimer le rayon de base du cône en fonction du rayon...
Si je trace un triangle rectangle (génératrice/hauteur/rayon de base), j'arrive à trouver des triangles semi-équilatéraux... Et une valeur bien déterminée pour R en utilisant la trigo.

Mais j'ai l'impression que c'est faux car l'exo est justement situé dans le chapitre "dérivation" et il est improbable qu'il ne fasse pas appel à des notions du chapitre.

Merci de votre temps.


Modif: Je précise qu'il s'agit d'un cône de révolution!

[fatal_error]

salut,

alors au risque de dire des conneries, je pense qu'il faut que la sphere soit tangente aux parois du cone et du socle.
1)Si elle est pas tangente au socle, on peut trouver un cone plus petit (hauteur plus petite)
2)Si elle est pas tangente aux parois, on peut monter la boule (si le sommet du cone est en haut) jusqu'à ce qu'elle touche les parois rebelote

A priori son diametre sera confondu avec la hauteur du cone. (genre même axe)

Si on fait une coupe verticale du cone : (qui donne un triangle)
Si on note S le sommet, H le projo orthogonal de S sur la base, et A le sommet "gauche", on a un demi-cercle (la boule coupée) tangente en H et en un point T de [AS].
I faut trouver l'équation de la tangente à ce demi-cercle pour un point du quart de cercle. Cette equation donnera un point d'intersection avec [HA] et [HS], puis on pourra determiner l'aire de AHS et ainsi remonter au volume du cone.

Ce qui fait beaucoup de "Si" :happy2:

[Lostounet]

Salut !
& Merci.

J'avoue être un peu perdu...
(Il y a tangence aux parois de la sphère.)

Je ne comprends pas très bien ta démo :( (La fin surtout)
Je devrais peut-être reprendre tête reposée demain... Qu'en penses-tu ? lol

[fatal_error]

dans l'idée on a un truc genre


Et le but c'est pour l'angle x (de 0 a 90), de trouver lequation de la tangente au cercle. A partir de la, on trouve l'intersection avec (AH) et (HS). (genre par exemple poser H(0,0) et HS colinéaire à (0,1) et HA colinéaire à (1,0)

[Lostounet]

Merci beaucoup !

C'est certes un plus accessible avec un repère...

Sinon, j'ai trouvé une autre méthode en exprimant deux fois tan de l'angle dans STC et SAH ce qui permet d'exprimer r du cône en fonction de sa hauteur, et donc le volume est réduit à 1 variable... On peut dériver.