Nombres premiers!!

par **schyschy** » 01 Oct 2005, 09:55

Bonjours je n'arrive pas à résoudre cet exercice:

ontrer qu'il n'existe pasp lus de quatre nombres premiers dans une dizaine!

merci beaucoup d'avance! :happy2:

par **Galt** » 01 Oct 2005, 10:05

Les nombres pairs, les multiples de 5...

par **LN1** » 01 Oct 2005, 10:07

Bonjour,

si tu prends 10 nombres consécutifs d'une dizaine plus grands que 10, ils vont s'écrire
xxx1, xxx2, xxx3, xxx4, xxx5, xxx6, xxx7, xxx8, xxx9, xxy0

parmi ces nombres, tu dois reconnaitre les nombres multiples de 2 et de 5 (qui ne sont donc pas premiers)
barre les et regarde combien de nombres il te reste.

tu n'as plus qu'à regarder ce qui se passe pour la première dizaine
1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10

Bon courage

par **schyschy** » 01 Oct 2005, 10:20

je n'est toujours pas compris:

2 est un nombre premiers non?

par **schyschy** » 01 Oct 2005, 10:21

!!!!!dsl!!!!!!

par **Galt** » 01 Oct 2005, 10:21

Oui, mais pas 12

par **LN1** » 01 Oct 2005, 10:28

oui 2 est premier
12 n'est pas premier
22 n'est pas premier
etc.

Indique plus précisément ce que tu ne comprends pas (on ne peut pas deviner)

parmi 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20 barre les multiples de 2 et de 5 combien de nombre te reste-il ? puis généralise.

par **schyschy** » 01 Oct 2005, 11:00

En fait je ne voit pas du tout comment celà prouverait qu'il n'y a pas plus de 3 nombres premiers dans une dizaine!

par **schyschy** » 01 Oct 2005, 11:27

HELP§§ :mur:

par **Alpha** » 01 Oct 2005, 11:48

Salut,

Soit

une dizaine. Soit

est pair, soit

impair.

Supposons

impair. Alors

sont pairs, donc non premiers. Reste donc à examiner

, impairs, qui sont au nombre de cinq.

On montre assez facilement que l'un de ces derniers nombres est multiple de 5 (avec les congruences de

modulo

par exemple), donc n'est pas premier.

Le raisonnement est le même en supposant que

est pair.

On en déduit qu'il y a au plus

nombres premiers dans une dizaine.

Alpha+

par **schyschy** » 01 Oct 2005, 12:36

merci bocoup

par **schyschy** » 01 Oct 2005, 15:13

excuse moi mé comment je prouve cela avec les congruences???

par **schyschy** » 01 Oct 2005, 16:06

s'il vous plait comment dois-je utiliser les congruence ici?

par **schyschy** » 01 Oct 2005, 20:12

please aidez moi pour les congruence!

par **schyschy** » 01 Oct 2005, 20:21

Comment montrer qu'un des nombres x est un multiple de 5 avec les congruence?

5=kx

par **Alpha** » 01 Oct 2005, 20:32

Soit tu admets ce que j'ai dit à propos de 5 (c'est à peu près évident),

soit tu envisages les différents restes de

dans la division par

.

Par exemple, si ce reste est

, alors il existe

entier tel que x

.

Alors

. Or, des 2 entiers k et k+1, l'un est pair, l'autre impair (car ils sont consécutifs), donc soit 5k est impair, soit 5(k+1) est impair. Celui qui est impair est alors à retirer des nombres impairs qui te restaient, puisqu'il est divisible par 5.

Et tu fais pareil pour les autres cas.

Si le reste de

dans la division par 5 est 1, il existe k entier tq

.

Alors tu as

,

.

Et ainsi de suite, selon les différentes congruences de

modulo 5 (c'est-à-dire 0,1,2,3 ou 4), tu trouves 2 entiers compris entre

et

qui sont multiples de 5, l'un est pair, il se terminera par un 0, l'autre impair, il se terminera par un 5, et ce dernier sera à enlever des 5 nombres qui te restaient, donc il ne t'en restera plus que 4 possibles.

Mais cette méthode est très fastidieuse, et je pense qu'on peut admettre que dans toute dizaine, il existe un multiple impair de 5 (c'est à dire un nombre se terminant par un 5). En fait, c'est évident!

Alpha+

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