Nombres premiers

[maxoudu94]

Bonsoir,
J'aurai besoin d'aide à propos d'un exercice dont voici l'énoncé :

Soit n un entier naturel supérieur à 2.
Démontrer qu'il existe une suite de n entiers naturels consécutifs dont aucun n'est premier.

En vous remerciant...

[raito123]

Par recurence c'est peut-être possible!!!!

[maxoudu94]

tout ce que je sais c'est qu'il faut se servir de factorielle

[Sa Majesté]

Par définition (n+1)! est divisible par 2, 3, ..., n et (n+1)
Donc
(n+1)! + 2 est divisible par 2
(n+1)! + 3 est divisible par 3
...
(n+1)! + n est divisible par n
(n+1)! + (n+1) est divisible par (n+1)
On a donc trouvé une suite de n termes consécutifs dont aucun n'est premier

Par exemple pour n=5
6! + 2 = 722 est divisible par 2
6! + 3 = 723 est divisible par 3
6! + 4 = 724 est divisible par 4
6! + 5 = 725 est divisible par 5
6! + 6 = 726 est divisible par 6

Ce n'est sans doute pas la première série de 5 nombres consécutifs dont aucun n'est premier, mais c'en est une

[oscar]

Bonsoir

Si on pose P = 2*3*..........*n(n+1), les nombres
P +2; P +3; ,.......P+n; P+(n-1)
répondent à la question ;le 1 er est divisible par 2; le 2e par 3; etc

[maxoudu94]

Seulement, je ne vois toujours pas comment répondre à la question posée? Je ne saisi pas bien le raisonnement.

[Memento]

Salut je suis pas sur de mon approche,

Mais un nombre premier n'est divisible que par 1 et lui-même,

Mis à part 0 et 1 le premier nombre qui n'est pas premier est 4.

Donc en te servant de la factorielle tu cherche une suite du style:

Sn=(n+2)!

de premier terme S1=(1+2)! = 3! = 3*2

qui n'est pas premier.

Par recurrence tu peux dire qu a l'ordre n+1:

Sn+1=Sn*((n+1)+2)

Donc Sn+1 n'est pas premier puisqu'il admet un diviseur ((n+1)+2)

donc tous les Sn pour n>=1 ne sont pas premiers

[maxoudu94]

Sn+1=Sn*((n+1)+2)

[maxoudu94]

désolé, je voulais dire pourquoi Sn+1=Sn*((n+1)+2) ?

[Memento]

(n+1)!=(n+1)*n! (1)

Sn=(n+2)!

Donc Sn+1=((n+1)+2)!
<=> Sn+1=((n+1)+2)*(n+2)! (d'après (1) )
<=> Sn+1=((n+1)+2)*Sn

@+

[maxoudu94]

merci et bonne nuit

[Memento]

Non je me suis trompé je n'avais pas lu l'énoncé, naturels consécutifs...

Désolé,

@+

[sheryfa60]

bonjour tout le monde!!! je ne sais pas cmt mettre un new message sur le site.. merci

[Taupin]

ba tu fais "nouvelle discussion" :S