Nombres premiers

par **flo2708** » 05 Nov 2007, 15:11

Salut a tous:

Soit a et b deux entiers naturels, et le nombre N = a^4 + 4b^4

_Demontrer l'identité de Sophie Germain :
N = (a²+2b²+2ab)(a²+2b²-2ab)
_Montrer que, pour b superieur ou égal à 2, N n'est jamais premier
_Pour b = 1, le nombre N peut-il être premier ?
_Montrer que 1207^4 + 4^1205 n'est pas un nombre premier.

Voila un petit exo que je n'arrive pas a faire
Tout d'abord pour l'identité, il faut juste développer les parentheses? ou faire toute une démonstration?
Puis pour montrer que N est/n'est pas premier, je ne vois pas d'où partir, faut-il remplacer b par 2 dans l'énoncé? bref je vois pas, et pour 1207^4 + 4^1205, comment peut-on simplifier ce calcul?

par **rene38** » 05 Nov 2007, 16:18

Bonjour

Tout d'abord pour l'identité, il faut juste développer les parentheses?

Oui

Puis pour montrer que N n'est pas premier

il suffit de trouver un entier diviseur de N autre que 1 ou N.

par **flo2708** » 05 Nov 2007, 18:41

rene38 a écrit:BonjourOuiil suffit de trouver un entier diviseur de N autre que 1 ou N.

Oui mais je ne vois pas d'ou partir, car ils disent "supérieur OU égal a 2" donc je me base sur quoi pour commencer?

par **flo2708** » 07 Nov 2007, 00:00

flo2708 a écrit:Oui mais je ne vois pas d'ou partir, car ils disent "supérieur OU égal a 2" donc je me base sur quoi pour commencer?

Up svp, personne a une idée?

par **rene38** » 07 Nov 2007, 00:28

N = (a²+2b²+2ab)(a²+2b²-2ab)N est le produit de 2 facteurs, le 2ème étant évidemment le plus petit.
Si N est premier alors il n'a que deux diviseurs et donc
(a²+2b²+2ab)=N et (a²+2b²-2ab)=1
- Montre que cette dernière égalité est fausse si b>=2
- Cherche une condition sur a pour qu'elle soit vraie avec b=1.

par **flo2708** » 07 Nov 2007, 00:43

rene38 a écrit:N = (a²+2b²+2ab)(a²+2b²-2ab)N est le produit de 2 facteurs, le 2ème étant évidemment le plus petit.
Si N est premier alors il n'a que deux diviseurs et donc
(a²+2b²+2ab)=N et (a²+2b²-2ab)=1
- Montre que cette dernière égalité est fausse si b>=2
- Cherche une condition sur a pour qu'elle soit vraie avec b=1.

Si b>=2 : a²+2b²-2ab>=a²+8-4a
Or a est un entier >=0 donc a²+8-4a>1
Donc si b>=2 alors (a²+2b²-2ab) différent de 1.

Si b = 1 : a²+2b²-2ab = a²+2-2a
Or si a = 1 alors a²+2-2a = 1
La condition est que a = 1 aussi.

C'est correct Rene?

par **rene38** » 07 Nov 2007, 01:01

Si b>=2 : a²+2b²-2ab>=a²+8-4a Non à cause du -
Or a est un entier >=0 donc a²+8-4a>1
Donc si b>=2 alors (a²+2b²-2ab) différent de 1.

Si b = 1 : a²+2b²-2ab = a²+2-2a
Or si a = 1 alors a²+2-2a = 1
La condition est que a = 1 aussi. Oui mais mal exprimé :
-------------------------
a²+2b²-2ab = a²+b²-2ab + b² = (a-b)² + b² >= b² donc
- Si b>=2 alors a²+2b²-2ab >= 2² donc a²+2b²-2ab est différent de 1
et donc N n'est pas premier puisqu'il a comme diviseurs 1, N et a²+2b²-2ab
- Si b=1 alors a²+2b²-2ab = a²+2-2a
et a²-2a+2=1 a²-2a+1=0 (a-1)²=0 a=1

par **flo2708** » 07 Nov 2007, 01:07

rene38 a écrit:Si b>=2 : a²+2b²-2ab>=a²+8-4a Non à cause du -
Or a est un entier >=0 donc a²+8-4a>1
Donc si b>=2 alors (a²+2b²-2ab) différent de 1.

Si b = 1 : a²+2b²-2ab = a²+2-2a
Or si a = 1 alors a²+2-2a = 1
La condition est que a = 1 aussi. Oui mais mal exprimé :
-------------------------
a²+2b²-2ab = a²+b²-2ab + b² = (a-b)² + b² >= b² donc
- Si b>=2 alors a²+2b²-2ab >= 2² donc a²+2b²-2ab est différent de 1
et donc N n'est pas premier puisqu'il a comme diviseurs 1, N et a²+2b²-2ab
- Si b=1 alors a²+2b²-2ab = a²+2-2a
et a²-2a+2=1 a²-2a+1=0 (a-1)²=0 a=1

D'accord je vois oui, et c'est à partir de cette forme là que je simplifie :
1207^4 + 4^1205 pour montrer s'il est premier ou pas?

par **rene38** » 07 Nov 2007, 01:16

Je ne vois pas le rapport entre 1207^4 + 4^1205 et a^4+4b^4.

Je searais tenté de procéder de la manière suivante :
1207^4 se termine par le chiffre 1.
Par quel chiffre se termine 4^1 ? 4² ? 4³ ? 4^4 ? ... 4^1205
Finalement, par quel chiffre se termine 1207^4 + 4^1205 ?

par **flo2708** » 07 Nov 2007, 09:12

rene38 a écrit:Je ne vois pas le rapport entre 1207^4 + 4^1205 et a^4+4b^4.

Je searais tenté de procéder de la manière suivante :
1207^4 se termine par le chiffre 1.
Par quel chiffre se termine 4^1 ? 4² ? 4³ ? 4^4 ? ... 4^1205
Finalement, par quel chiffre se termine 1207^4 + 4^1205 ?

4^1 --> 4
4² ---> 6
4^3 --> 4
4^4 --> 6
....4^1205 se termine par le chiffre 4.

Or 1207^4 se termine par le chiffre 1.

donc 1207^4 + 4^1205 se termine par le chiffre 5.
Il n'est donc pas premier, car il est au moins divisible par 1, 1207^4 + 4^1205, et 5.

Par contre, comment est-ce que l'on prouve que 1207^4 se termine par le chiffre 1?

par **rene38** » 07 Nov 2007, 10:29

comment est-ce que l'on prouve que 1207^4 se termine par le chiffre 1?

en disant par exemple 1207^4=(1207²)²

1207² se termine par 9 (7×7=49)
donc 1207^4 se termine par 1 (9×9=81)

par **flo2708** » 07 Nov 2007, 10:38

rene38 a écrit:en disant par exemple 1207^4=(1207²)²

1207² se termine par 9 (7×7=49)
donc 1207^4 se termine par 1 (9×9=81)

D'accord oui j'ai été bête la de pas voir ça.
Merci beaucoup Rene en tout cas.

Je sais pas si vous tu as vu sur le forum, j'ai posté d'autres exercice, et il y en a un en particulier où je bloque toujours, j'aurais voulu savoir si tu pouvais y jeter un oeil stp?

Car je n'ai pas eu de réponse sur cet exo encore.
http://www.maths-forum.com/showthread.php?t=47933

Voila merci de ton aide dans tous les cas..

par **flo2708** » 07 Nov 2007, 11:15

flo2708 a écrit:D'accord oui j'ai été bête la de pas voir ça.
Merci beaucoup Rene en tout cas.

Je sais pas si vous tu as vu sur le forum, j'ai posté d'autres exercice, et il y en a un en particulier où je bloque toujours, j'aurais voulu savoir si tu pouvais y jeter un oeil stp?

Car je n'ai pas eu de réponse sur cet exo encore.
http://www.maths-forum.com/showthread.php?t=47933

Voila merci de ton aide dans tous les cas..

Tiens je t'ai rectifié le lien du topic Rene.
http://www.maths-forum.com/showthread.php?t=47933

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