Nombres Premiers

[flo2708]

Salut a tous, voila j'me fais une p'tite série d'exos dans le but de réviser, mais y'a 4 exos où je blok (et n'ayant pas de correction je viens vous demander un peu d'aide :)).



1°)Déterminer le reste de la division par 3 de 2^n, n étant un entier naturel. En déterminer le reste de la division par 3 de 2^14607.

2°)Quels sont les diviseurs du carré d'un nombre premier p.
Quels sont les entiers qui n'admettent qu'un seul diviseur, autre que 1 et lui-même?

3°)Soit n = (2^a)(3^b) où a et b sont des naturels.
a/Déterminer le nombre de diviseurs positifs de n.
b/Déterminer n sachant que 12n a deux fois plus de diviseurs que n.

4°)Montrer que si n est premier, alors n + 7 n'est pas premier.


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Pour l'ex 1, je ne vois pas par où commencer, je tourne en rond en fait, puisque je reste sur : 2^n est congru à x modulo 3, donc x = -3k + 2^n, mais ça ne m'aide pas en fait...

L'ex 2, je sais que les diviseurs du carré de p sont : 1, p, racine(p), mais pour les entiers (question b) je ne vois pas.

L'ex 3, je sais que n possède (a+1)(b+1) diviseurs.
Donc 12n possèdent 2(a+1)(b+1) diviseurs, mais comment trouver a et b? je ne vois pas vraiment..

Et pour l'ex 4, je ne vois pas quel démonstration utiliser pour montrer que n + 7 n'est pas premier.