Nombres premiers

[upium666]

Bonjour à tous et à toutes !

Pour tout nombre premier supérieur ou égal à , le nombre est-il divisible par ?

Je n'arrive pas à y répondre, j'ai pensé à utiliser le corollaire du théorème de Gauss avec l'idée que comme et que est divisible par et par et par , alors serait divisible par mais et ne sont pas premiers entre eux, donc le corollaire ne marche pas et on ne peut qu'affirmer que est divisible par

Merci de m'aider pour cet exercice, et pour beaucoup d'autres à venir car comme on a fini le programme de spécialité mathématiques, il nous reste 2 mois de révisions et je compte me perfectionner
Pour l'instant, je trouve les exercices sur les nombres premiers difficiles :s

Merci encore une fois !

[WillyCagnes]

bjr,

tiens je retrouve une formule que j'ai trouvée à l'age de 16ans

tout nombre premier >3 on a P² -1 = 0 mod(4!)

http://www.maths-forum.com/nbre-premier-151779.php

[busard_des_roseaux]

bonjour,



un des facteur est divisible par 3 car p-1,p,p+1 sont consécutifs
un des facteurs est divisible par 2, l'autre par 4

[upium666]

bjr,

tiens je retrouve une formule que j'ai trouvée à l'age de 16ans

tout nombre premier >3 on a P² -1 = 0 mod(4!)

http://www.maths-forum.com/nbre-premier-151779.php

D'après le lien que vous m'avez mentionné, c'est bien une conjecture ... ?

[upium666]

bonjour,



un des facteur est divisible par 3 car p-1,p,p+1 sont consécutifs
un des facteurs est divisible par 2, l'autre par 4

Je peux bien le comprendre pour la divisibilité par 3
Par 2 aussi
Pour la divisibilité par 4, je ne vois pas trop comment faire : j'arrive à démontrer aisément que est un multiple de 4 mais comme 2 et 4 ne sont pas premiers entre eux le corollaire du théorème de Gauss ne peut pas m'aider ! En gros je n'arrive pas à montrer la divisibilité par 4 de l'autre facteur

[L.A.]

Bonsoir.

Je suppose qu'en affinant un peu ta méthode pour montrer 4|(p²-1) tu peux arriver à 8|(p²-1).

[Vupen]

On peut montrer que pour tout entier impair, 4|p² - 1 de la manière suivante :

p = 2k + 1 donc p² - 1 = (2k+1)² - 1 = 4(k² + k)

Du coup, comme p est premier >= 5, donc impair, on a le résultat désiré.

p² - 1 étant aussi divisible par 2 et 3, on a le résultat.

[Vupen]

Sinon pour démontrer la divisibilité par 8, on peut passer par les congruences.

Clairement, car p est premier impair.

Tu élèves au carré puis tu réduis : on obtient que chaque p² est congru à 1 mod 8, d'où le résultat.

[nodjim]

Pour la divisibilité par 8:
p=2n+1
p²=4n²+4n+1
p²-1=4n²+4n=4n(n+1)
On a 4, et bien sûr 2 dans n(n+1).

[Ben314]

En gros je n'arrive pas à montrer la divisibilité par 4 de l'autre facteur

Comme p est impair, p-1 et p+1 sont deux entiers pairs succéssifs donc exactement un des deux est divisible par 4 (si tu le vois pas directement, considère que (p-1)/2 et (p+1)/2 sont deux entiers succesifs donc exactement un des deux est pair)

Aprés, quand dans un produit tu as un terme divisible par 2 et un autre divisible par 4, ben le produit est divisible par 8.

[upium666]

Merci tout le monde, c'est compris !