1e L : Nombres premiers et decomposition

[Linkinou]

Bonjour,

J'espere que vous pourrez me guider dans cette exercice qui m'a l'air facile en lisant l'énoncé mais qui m'empêche de savoir quoi chercher =\

Voici l'énoncé :

On a un nombre n de bonbons compris entre 150 et 200.
Si on fait des paquets de 5, il reste 2 bonbons; si on fait des paquets de 4, il reste 2 et si on fait des paquets de 3m il en reste toujours 2. Combien y a-t-il de bonbons ? ( on pourra s'intéresser à a la décomposition de n-2 en produit de facteurs premiers ).

Pour le moment le problème est que je ne sais pas par ou commencer et quoi chercher. Pourriez-vous m'aider s'il vous plaît ?

Merci d'avance.

[Cheche]

Salut,

Un exercice de Mathématiques devrait toujours commencer par la traduction de l'énoncé (et oui, on fait aussi des traductions en maths).

Donc essayes de traduire l'énoncé, et si tu n'arrives pas, on te donnera de l'aide.

On te définit l'inconnu du problème :

On a un nombre n de bonbons

Ensuite, tu traduis la suite en des équations ou des inéquations :

entre 150 et 200

Si on fait des paquets de 5, il reste 2 bonbons

Si on fait des paquets de 4, il reste 2

si on fait des paquets de 3m il en reste toujours 2

Remarque 1 : n'hésite pas à introduire de nouvelles variables.

on pourra s'intéresser à a la décomposition de n-2 en produit de facteurs premiers

Remarque 2 : Tu ne vas pas devoir résoudre un système d'équation, mais faire de l'arithmétique.

P.S. : As tu vu le théorème de Gauss de l'arithmétique ??

[Linkinou]

Merci pour tes précisions ! =)

Je pense être mieux éclairé mais malheureusement pas totalement.
Alors pour la traduction, sa donne sa :

150>n>200

Si n/5, reste 2
n/4, reste 2
n/3, reste 2

Mais après que faire ? J'avoue que j'ai pensé a essayer de diviser tout les nombres compris entre 150 et 200 jusqu'a trouver celui qui faut. Mais bon, je pense que sa doit se derouler autrement ^^.
Je pense que la suite réside dans ceci :

on pourra s'intéresser à a la décomposition de n-2 en produit de facteurs premiers

Mais je ne comprend pas cette partie U_U J'ai du mal avec les lettres =\

Et non nous n'avons pas vu le théorème de Gauss de l'arithmétique =\

Merci encore !

[Le Chaton]

Bonjour,

Merci pour tes précisions ! =)

Je pense être mieux éclairé mais malheureusement pas totalement.
Alors pour la traduction, sa donne sa :

150>n>200

Si n/5, reste 2
n/4, reste 2
n/3, reste 2

Mais après que faire ? J'avoue que j'ai pensé a essayer de diviser tout les nombres compris entre 150 et 200 jusqu'a trouver celui qui faut. Mais bon, je pense que sa doit se derouler autrement ^^.
Je pense que la suite réside dans ceci :


Mais je ne comprend pas cette partie U_U J'ai du mal avec les lettres =\
Et non nous n'avons pas vu le théorème de Gauss de l'arithmétique =\

Merci encore !

pour un littéraire ... :p :p avoir du mal avec les lettres hahaha

Dsl
Bon si tu fais des paquets de 5 avec tes n bonbons il t'en reste 2 ...
Si tu fais des paquets de 5 avec n-2 bonbons combien il t'en restera ?
Ce qui veut dire que ? Qu'est ce que tu peux dire de n-2 ?

Fais pareil avec 4 paquets ... puis 3 Ensuite tu tireras une info ( enfin 3 infos ) sur n-2 ... qui te permettront de trouver n-2
une fois que tu as n-2 tu retrouves facilement n .

[Linkinou]

Huhu oui c'est vrai ^^ J'ai eu du mal a l'écrire cette aveu :P Mais pour être plus precis, sa ne concerne que les lettres qui remplaces les chiffres/nombres dans les calculs =)

Bon il se peut que je dise des bêtises mais voila ce que j'en déduis =)
Si je fais des paquets de 5 avec n-2 il me restera 0 bonbons et de même pour 4 et 3.
Ce qui veux dire que n est un multiple ( j'ai peur de me tromper de vocabulaire xD ) de 5,4 et 3 à condition que n = n-2.
Mais à partir de la, aucune idée de ce que je dois faire du n... desolé =\

[Le Chaton]

C'est presque ça ^^
Enfin dans le principe c'est bon :)
On va dire que p=n-2
Donc p est un multiple de 3, 4,5
Maintenant on va travailler avec p.
Tu connais les conditions de divisibilités par 3 ? par 4 ? par 5 ?

[Linkinou]

Mmmhh dis comme cela non =\

Je suis content d'etre sur la bonne voie =D

[Le Chaton]

Tu dois les avoir dans ton cours quelque part ...
Pour être divisible par 5 un nombre doit finir par...
..............................4 blablabla
..............................3 la somme de ces chiffres doit être divisible par 3 ...
Pour la 5 et 4 c'esdt facile et ça se voit direct les critères non ?
Une fois que tu auras tous les critères ... ça te permettra de tomber sur le bon nombre ( pour les critères de divisibilité si tu ne les retrouves pas tu vas sur google ...)

[Linkinou]

Ah oui sa ! En effet je connais ^^

Donc le nombre devra obligatoirement finir par 5 ou 0.
Étant donné que n est entre 150 et 200, je n'ai pas beaucoup de choix :

-155
-160
-165
-170
-175
-180
-185
-190
-195

Maintenant la somme des 2 derniers chiffres doit être divisible par 4, on peut donc procédé par élimination.
Il ne reste donc :

-175
-180

Or la somme des 3 chiffres doit être divisible par 3, par conséquent on exclu 175 car 1+7+5 = 13, donc pas divisible par 3.
Le gagnant est donc 180 !

Sauf que la, lorsque je vérifie l'histoire des bonbons, c'est à dire qu'en faisant des paquets de 5 de n, il doit rester 2 bonbons, sa ne marche pas pour 180 =\
180 est bien divisible par 3,4 et 5 sauf qu'il ne me reste pas 2 bonbons =\
J'ai du mal compris quelque chose :dodo:

[Le Chaton]

On a recherché p ... et p=n-2 tu connais p ... donc tu peux retrouver n . :)

[Linkinou]

J'adore les maths ! =F

Merci beaucoup beaucoup pour ton aide Le Chaton, c'est vrai que c'etait pas bien difficile :P

[Cheche]

Salut,

Juste pour le plaisir, on va faire une explication un peu plus scientifique.

(entre 150 et 200) (150
(il existe k tel que n = 5k +2)
( 5 | (n-2) )

(Si on fait des paquets de 4, il reste 2) 2 | (n-2)

(si on fait des paquets de 3m il en reste toujours 2) 3 | (n-2)

Conclusion :

5 | (n-2)
2 | (n-2)
3 | (n-2)

Or 5,3 et 2 sont des nombres 2 à 2 premiers entre eux.

=> 5*2*3 | (n-2)
=> 30 | (n-2)

Or (150 148 180 = n-2 et 150 = n-2
=> n = 182 et n = 152


P.S. : Pour ceux que ça intéresse, je pense que Terminale S, spé maths qui font de l'arithmétique. Ce qui est en gras peut être démontré par le théorème de Gauss.

[Cheche]

Re, donc après vérification vous avez oublié le 150, non ?

Sinon bravo à Le Chaton pour l'explication, qui est très bien pour une élève de Terminale L.