Décomposition en facteurs premiers

par **Roxane38** » 04 Nov 2006, 17:35

Bonjour à tous!
Encore une nouvelle difficulté... :hein:

1) Déterminer la décomposition en facteurs premiers de 7744 et de 17424.

7744= 11² x 2^6
17424= 2^4 x 3² x 11²

2) En déduire:
a) La valeur de ;)7744 sans calculatrice
b) La simplification de la fraction 7744/17424 sous forme de fraction irréductible, sans calculatrice.
c) Le calcul de 308/17424 + 191/7744 sous forme de fraction irréductible.

Pour le 2) ce n'est pas que je n'y arrive pas, c'est que je ne sais pas comment faire, et je ne trouve pas d'exemple dans les livres... Si vous en avez... :we:

par **eraule** » 04 Nov 2006, 17:40

Bonjour,

attention ! 11*2=22 et 11*2*3 =66 !

Pour la décomposition de 7744, petit indice, si on te demande après la valeur de sa racine, c'est que sa décomposition ne fait intervenir que des puissances paires.

par **Roxane38** » 04 Nov 2006, 17:42

Mais si je dois décomposer seuleument avec des nombres pairs, je ne peux décomposer qu'avec 2 puisqu'il est le seul nombre premier pair ?!

par **eraule** » 04 Nov 2006, 17:55

J'aimerais savoir en quelle calsse tu es pour savoir comment te répondre au mieux.

Dans le doute, je fais une explication sur un exemple, comme ça on ne s'embête pas avec le formalisme :

par exemple : 150

on a 150 = 2*75 = 2*3*25 = 2*3*5²

donc 150 s'écrit avec 2 à la PUISSANCE 1, 3 à la puissance 1 et 5 à la puissance 2.

Il ne faut pas confondre le nombre premier et la puissance du nombre premier !

autre exemple : 48 = 2^4*3

2 est à la puissance 4 et 3 à la puissance 1.

Donc pour t'expliciter l'indice, on te demande de calculer racine de 7744 sans calculatrice, il y a donc de très très forte chance que 7744 soit un carré parfait, càd que sa racine carrée est entière, par exemple 9 est un carré parfait car 9 = 3². Donc si 7744 est un carré parfait, il est égal à n² avec n un entier qui se décompose également en facteurs premiers, donc les puissances qui interviennent dans la décomposition en facteurs premiers de n sont multipliées par 2 dans la décomposition de 7744. Bon cela peut te paraître obscur si tu n'es pas à l'aise, donc n'y prête pas trop attention dans un premier temps.

par **Roxane38** » 04 Nov 2006, 18:19

Je suis en 2nd ^^.
Très bien, donc, si j'ai compris,
;)7744= ;)11^2x2^6
= 11 x 2^3
= 11 x 8
= 88
??? (Cette solution me semble être juste)

par **eraule** » 04 Nov 2006, 18:28

Eh bien cela m'a l'air juste aussi.

par **Roxane38** » 04 Nov 2006, 18:33

Super, merci beaucoup!
J'ai fait le b), pouvez vous me dire si c'est juste?
Ca va être dure à lire par contre...

7744/17424 = (11^2 x 2^6)/(2^4 x 3^2 x 11^2) = (2^2 x 2^4)/(2^4 x 3^2) = 2^2/3^2 = 4/9 ???

par **eraule** » 04 Nov 2006, 18:35

Oui c'est ça.

par **Roxane38** » 04 Nov 2006, 18:37

Oui!
Merci!
Et pour le calcul de 308/17424 + 191/7744 (c'est le c)), faut il que je décompose 308 et 191 en produits de facteurs premiers?
(Je suis désolée de vous embêter comme je le fait un samedi soir...)

par **eraule** » 04 Nov 2006, 18:40

Là tu peux répondre à la question de différentes manières, à toi de voir quelle est la plus rapide, en en essayant quelques unes.

par **Roxane38** » 04 Nov 2006, 18:56

Je n'arrive pas à mettre ces deux fractions sous le même dénominateur, surtout que 191 est premier, ce qui n'arrage rien...

par **eraule** » 04 Nov 2006, 18:59

bon,

exemple :
1/7744 +1/17424 = ?

méthode bourrine, tu multiplies par (17424/17424) 1/7744 et par (7744/7744) 1/17424 : tu passes au même dénominateur.

méthode plus astucieuse : 7744/ 17424 = 4/9 donc 7744 = (4/9)*17424 etc..

par **Roxane38** » 04 Nov 2006, 19:12

Alors là, j'ai vraiment rien compris... :briques:

Pour la méthode bourrine, si je multiplie 1/7744 par (17424/17424), ça revient à multiplier 1/7744 par 1 ? Et pareil pour l'autre donc rien n'a changé? (J'ai rien compris ^^')

Pour la méthode astucieuse, je ne vois pas où vous voulez en venir... Comment je peux rendre une fraction irréductible avec ça?

par **Roxane38** » 04 Nov 2006, 19:20

Ah non, j'ai compris la méthode bourine! :we:

par **eraule** » 04 Nov 2006, 19:22

1. Passage au même dénominateur

a/b + c/d = a/b*1 + c/d*1 = a/b*d/d + c/d*b/b
=ad/bd + cb/bd = (ad+bc)/bd

C'est simplement le passage au même dénominateur !

2. tu as : a/b + c/d
on sait que b=nd
donc tu peux écrire : a/b + c/d= a/nd +c/d = (a+nc)/nd, d'accord ?

Donc grâce à la décomposition en facteurs premiers tu as trouvé 7744 = 4/9*17424.

Après pour obtenir une fraction irréductible, tu es obligée de passer à la décomposition en facteurs premiers.

par **Roxane38** » 04 Nov 2006, 19:49

J'ai vraiment rien compris au 2...
C'est quoi nc et nd ?

a/b + c/d = a/nd +c/d = (a+nc)/nd

???

par **eraule** » 04 Nov 2006, 19:53

n c'est un entier

par exemple

5/2+1/6 = 1/2+1/(3*2) = 5*3/(2*3)+1/(3*2) = (5*3+1)/(3*2) = 16/6 = 8/3

a=5
b=2
c=1
d=6

on a b=nd avec n=2.

par **Roxane38** » 04 Nov 2006, 20:02

5/2 + 1/6 = 1/2 + 1/(3 x 2) ???

par **eraule** » 04 Nov 2006, 20:04

ah excuse moi, j'avais commencé par marquer 1/2+1/3,puis je me suis dit que 5/2 c'était mieux (plus compliqué, éhéh), voilà c'est tout !

par **Roxane38** » 04 Nov 2006, 20:07

Ah ok, désolé, mais comme en ce moment je n'arrive à rien en maths, je me pose des questions même sur les évidences, mais j'ai pensé que c'était juste une erreur...

Et ba....

J'AI COMPRIS!!!!!

Merci! Merci! Merci! :we:

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