Nombres irationnels

[Et0ile]

Bonsoir,

Je dois faire un exercice de maths pour demain, mais je n'y comprends pas grand chose... Pourriez-vous m'aider svp ?

On se propose de démontrer que racine carrée de 2 est un irrationnel.

1. a désigne un entier naturel. Démontrer que :
a) si a est pair alors a² est pair
b) si a est impair, alors a² est impair

2. On utilise un raisonnement par l'absurde. On suppose donc que racine carrée de 2 est rationnel, c'est-à-dire qu'il existe des entiers naturels a et b, avec qui n'est pas égal à 0 tels que :

racine carrée de 2 = a/b où a/b est une fraction irréductible.

a) Vérifier qu'alors a²=2b²
b) Quelle est donc la parité de a² ?
Déduire du 1 que a est pair.
c) On pose a=2a' avec a' appartenant aux entiers naturels.
Démontrer qu'alors b'=2a'² et en déduire que b est pair.
d) Déceler où se situe la contradiction en utilisant l'hypothèse et les questions b) et c).
e) En déduire que racine carrée de 2 est irrationnel.

Merci d'avance.

[masterman]

V2=1.414235...il ne fini pas donc c'est un irrationel comme Pie

a)ensuite soi a un entier naturel pair a=4 4²=16 c'est pair car c'est divisible par2

b)si a=3 un entier non pair 3²=9 n'est pas pair et pas divisible par deux

[Et0ile]

Merci beaucoup masterman !

Est-ce que quelqu'un peut m'aider pour le reste svp ? :girl2:

[Nightmare]

0,3333.... ne finit pas et pourtant c'est un rationnel!

[Et0ile]

Masterman ne prend pas de cas particulier.

Soit ( est donc pair)


On en conclut que si a est pair alors a^2 l'est tout autant.

Soit ( est ici impair)


Le fait que ne soit pas entier prouve que si a est impair alors est aussi impair

Pour la racine :
Supposons que
mettons ça au carré

donc >> est donc pair
écrivons que

On remplace dans l'égalité :
Donc est pair MAIS si les deux étaient pair on pourrait réduire la fraction ici ce n'est pas le cas donc est irrationnel

(s'il y a une érreur dans la démarche faite signe )

Ne peut-on pas dire pour le 1.b) que si a est impair alors a=2(2n²+2)+1 ?

[Et0ile]

Ma prof de maths nous a laissé jusqu'à demain pour faire l'exercice, mais il y a toujours quelques petites choses que je n'arrive pas à éclaircir, notamment à partir de là :

b) Quelle est donc la parité de a² ?
Déduire du 1 que a est pair.
c) On pose a=2a' avec a' appartenant aux entiers naturels.
Démontrer qu'alors b'=2a'² et en déduire que b est pair.
d) Déceler où se situe la contradiction en utilisant l'hypothèse et les questions b) et c).

Si un matheux ou une matheuse passe par là... Merci d'avance ;)

[Et0ile]

S'il vous plaît ? :girl2:

[oscar]

Bonjour

Voici une méthode

http://img213.imageshack.us/img213/1626/v2irrationnellh7.jpg

[Et0ile]

Merci !

Mais pour cette question

c) On pose a=2a' avec a' appartenant aux entiers naturels.
Démontrer qu'alors b'=2a'² et en déduire que b est pair.

Comment puis-je faire ?

[Et0ile]

Je ne vois pas trop comment faire cette partie... :doh:

[Et0ile]

Svp, pouvez-vous m'aider pour la question c) ? Car je crois qu'il y a un problème.

[Et0ile]

Car moi je trouve que b²=2a'²
Mais pas b'=2a'²

!

[Et0ile]

N'y a t-il pas eu une erreur dans mon livre selon vous ?

[Et0ile]

Bonsoir à tous,

J'ai finalement un prolongement jusqu'à vendredi, donc si vous pouviez juste répondre à ma question svp...

[Joker62]

La démonstration a été faite plus haut, et clairement écrite en LaTeX
Tu comprends pas quoi ?

[Et0ile]

La démonstration a été faite plus haut, et clairement écrite en LaTeX
Tu comprends pas quoi ?

Je comprends pas la question c) :doh:

c) On pose a=2a' avec a' appartenant aux entiers naturels.
Démontrer qu'alors b'=2a'² et en déduire que b est pair.