Nombres Complexes

[Pioux]

Bonjour, pouvez vous m'aider pour cette exercice en me donnant des méthodes pour que je puisse savoir refaire seule.

Le plan est muni d'un repère orthonormé direct, unité graphique 2 cm. A et B sont les points d'affixes respectives 1 et -1.
On appelle f l'application qui à tout point M d'affixe z, M distinct de A, associe le point M' d'affixe z' telle que :
z' =

Question 1 : On note (C) le cercle de centre 0 et de rayon 1. Démontrer l'équivalence M'=B si et seulement si M appartient à (C) et M différent de A.
(Moi j'ai remplacé z par -1 et j'ai montrer que je trouvais z'=-1 mais je doute que se soit ca qu'il faut montrer)

Question 2 : Déterminer l'ensemble des points invariants par f.

Question 3 : Démontrer que, pour tout complexe z, on a : |z| = |z'|
(La j'ai fait |z'| = mais après je suis bloqué.)

Question 4 : démontrer que, pour tout complexe z, différent de 1, est un nombre réel.
M étant un point un situé sur C , que peut-on déduire pour les droites (AM) et (BM') ?

Question 5 : Pourever que, pour tout point M non situé sur l'axe (O;u) les droites (AM) et (MM') sont perpendiculaires.


Merci d'avance pour votre aide

[annick]

Bonjour,
pour la première question, si M'=B cela veut dire z'=-1.
On a donc -1=(zbarre(z-1))/(zbarre-1)
déjà, tu peux faire le produit en croix et développer et ainsi, tu arrives à
zbarrez=1, soit llzll=1 et M se trouve donc sur le cercle (O,1)

Pour déterminer les points invariants, tu as z'=z. Tu vois ce que cela donne avec ta formule de z'.

[Black Jack]

1)
Je t'aide pour le début de la question 1... à toi de la continuer.

Avec z = x + iy

a)
Si M' = B, alors z' = - 1 -->
z(barre)*(z-1) = - z(barre) + 1
z(barre).z = 1

--> (x + iy)(x - iy) = 1
x² + y² = 1 et donc M d'affixe z = x+iy appartient au cercle (C).

Donc : M' = B ==> M appartient au cercle (C) (1)
***
b)
Il faut maintenant faire la démo dans l'autre sens, soit pouver que :

M appartient au cercle (C) ==> M' = B (2)

Une fois cela fait, (1) et (2) permettent de conclure
************
2)

Il faut trouver les z qui conviennent pour avoir z' = z

Donc résoudre : z = (z(barre)*(z-1))/(z(barre) - 1)

...
***********
3)

z = x + i.y
zbarre = x - iy

z' = ...
|z'|² = ...

************

...

:zen: