Nombres complexes

[iznogoud09]

Bonjour a tous,
j'ai une petit bug sur un exercice un peu compliqué, j'aimerais avoir un peu d'aide histoire de pouvoir me lancer. Je vous faire par de l'ennoncé.

On considere les nombres complexes Zn definis, pour tout entier naturel, par:
Zo=1 et Zn+1= ((3/4)+ i* (racine de3/4))Zn
et on note Ao le point d'affixe Zn

1°) Calculer sous forme algebrique les nombres Z1 à Z6.

2°)Pour tout entier naturel n, on pose dn=|Zn+1 - Zn|
Verifier que pour tout n> ou = 1
Zn+1 - Zn= ((3/4)+ i (racine 3/4))(Zn - (Zn-1))

En deduire une relation entre dn et dn-1 pour tout n> ou = 1
puis dn en fonction de n et do.

3°) Pour tout entier naturel, on pose an= arg(Zn)
Etablir une relation entre An et An-1 pour n> ou = 1
En deduire An en fonction de n

Pour quelles valeurs de n , les points 0, A1 et An sont-ils alignés?

Merci a tous de votre aide
A bientot

[XENSECP]

La première question quand même ?

[iznogoud09]

Z1= 3/4+i racine 3/4
Z2= 3/8

est ce que le debut est bon ?

[Florélianne]

Bonsoir,

On considère les nombres complexes Zn définis, pour tout entier naturel, par:
Zo=1 et Zn+1= ((3/4)+ i* (racine de3/4))Zn
et on note Ao le point d'affixe Zn

1°) Calculer sous forme algébrique les nombres Z1 à Z6.
Z1=[3/4 +iV3/4 ]*1 = 3/4 + iV3/4
Z1= 3/4+i racine 3/4 Bon
Z2=(3/4 + iV3/4)(3/4 + iV3/4) = (3/4 +iV3/4)² =
Z2 = 9/8 +3iV3/8 -3/16 = 15/16 + 3iV3/8
Z2= 3/8 faux
tu reprendras tes calculs...

j'ai compris ton énoncé comme Zn+1 = [3/4 +i(V3)/4]Zn
si c'était Zn+1 = [3/4 +iV(3/4)]Zn on ne trouve pas pareil... mais toujours pas 3/8 !

pour poursuivre je pose z= (3/4)+ i* (racine de3/4)

dans tous les cas si Zn+1 = z* Zn
on a Zn = z^n

2°)Pour tout entier naturel n, on pose dn=|Zn+1 - Zn|
Vérifier que pour tout n > 1
Zn+1 - Zn= ((3/4)+ i (racine 3/4))(Zn - (Zn-1))
Zn+1 - Zn= z*Zn - z*Zn-1 = z(Zn - Zn-1)

En déduire une relation entre dn et dn-1 pour tout n > 1
|Zn+1 - Zn| = |z(Zn - Zn-1)| = |z| * | Zn - Zn-1| = ?
puis dn en fonction de n et do.
donc dn= ?

3°) Pour tout entier naturel, on pose an= arg(Zn)
Etablir une relation entre An et An-1 pour n > 1
Zn = z^n et arg(u*v) = arg(u)+arg(v)
arg(Zn) = arg(z*Zn-1) = arg(z) +arg(Zn-1)
calcule arg(z)...

En déduire An en fonction de n
arg(Zn) = arg(z^n) = n*arg(z)
Pour quelles valeurs de n , les points A0, A1 et An sont-ils alignés?
les points A0 ; A1 et An sont alignés les vecteurs A0A1 et A0An sont colinéaires....

Fais déjà tout ça, n'étant pas certaine de valeur de z je ne peux pas te diriger plus !

Bon travail

[nido]

je pense que vous vous etes trompé pour le Z2 ,car (3/4)^2 c'est (9/16) et non pas (9/8).
donc moi je trouve Z2= 3/8 + i 3V3/8