Nombres Complexes

[Pikou88]

Bonjour às tous

Voila il y a deux petits problèmes auquels j'essai de repondre :

1) Déterminer les complexe z tels que z² soit réel (poser z= x + iy )

Je procède de la manière suivante
x + iy = x x car pour qu'un nombre soit réel Im(z)=0
iy=0
y=0

Ca semble coherent d'après moi..
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2)Déterminer les complexes z tel que (z-1) (z(barre) + 2i) soit imaginaire

Alors la je vois pas comment faire je pars dans des developpement sans fin et sans simplification apparante...

voilou si quelqu'un pouvait m'aider ca serrait cool :help:

[Adsederq]

Es-ces que c'est bien la bonne réponse en a) ?
Car dans ta démarche tu as dis z=Re(z²)
Dison que z=x+yi z²=x²+0*i
On a donc que
(x+y*i)² = x²
x²+2xiy-y²=x²
2xi=y
Donc
z=x+iy y-->2xi
z=x+i(2xi)
z=x-2x
z²=(x-2x)²=x² --> Réel.... c mon idée, je sais pas si c bon..

J'ai résolut b de la meme facon
mais j'suis pas sur de mes affaires, je commence avec les nombres complexe moi aussi :)

En b ca me donne y=(x-1+2*i)/(1+i)
donc z=x+yi.... y-->....

Si y'a quelqu'un qui pourait répondre avec plus d'assurance que moi j'aimerais bien pcq j'la trouve bonne la question ;)

[Chimerade]

Bonjour,

1) Déterminer les complexe z tels que z² soit réel (poser z= x + iy )

Je procède de la manière suivante
x + iy = x x car pour qu'un nombre soit réel Im(z)=0
iy=0
y=0

Ca semble coherent d'après moi..

Tu t'y prends mal. On veut que z² soit réel et tu écris que z est réel !

Bon ! Tu poses z=x+iy
Alors z²=(x²-y²)+2xyi
Tu veux que z² soit réel il faut et il suffit donc que 2xy soit nul, et pour cela il faut et il suffit que soit x soit nul, soit y soit nul.
Les solutions sont donc x=0 ---> Donc tous les imaginaires purs sont réels

[INDENT]effectivement : i²=-1 c'est un réel, (3i)²=-9, c'est un réel, (-67i)²=-4489 c'est un réel, etc...[/INDENT]

...et y=0 ---> Donc tous les réels

[INDENT]effectivement 1²=1 c'est un réel, (-6)²=36 c'est un réel etc... [/INDENT]

2)Déterminer les complexes z tel que (z-1) (z(barre) + 2i) soit imaginaire

Même méthode : On pose z=x+iy
z(barre)=x-iy
Donc : Posons A=(z-1)*(z(barre)+2i)
A= [(x-1)+iy][x+i(2-y)]
A= x*(x-1)-y(2-y) + i * [xy+(x-1)(2-y)]

Puisque tu veux que A soit imaginaire, il faut et il suffit que la partie réelle de A soit nulle. Donc :

x*(x-1)-y(2-y)=0
Soit :
x²+y²-x-2y=0
ou encore :
(x-1/2)²-1/4+(y-1)²-1=0
(x-1/2)²+(y-1)²-5/4=0
Il s'agit des affixes des points du cercle de centre (1/2,1) et de rayon racine(5)/2.
Vérifions au moins sur un point : je propose le point (1,2) qui appartient à ce cercle.
z=1+2i
z(barre)=1-2i
(z-1)*(z(barre)+2i) = 2i * 1 = 2i ; c'est bien un imaginaire !

[Chimerade]

Dison que z=x+yi z²=x²+0*i

Attention ! D'où sors-tu ça ? Depuis quand z²=x² ?

Il est très difficile de commenter ce que tu as fait. Tu dis que Pikou88 a dit

"Car dans ta démarche tu as dis z=Re(z²)"

Mais il n'a pas dit ça !
Deuxièmement, en supposant qu'il l'ait dit, alors cela s'interprêterait par :
(x+iy)=Re(x²-y²+2xyi)=x²-y²
et certainement pas par "z²=x²+0*i"

x²+2xiy-y²=x²
2xi=y

Là aussi, tu es gonflé !
Si x²+2xiy-y²=x² alors 2xiy-y²=0
Mais cela n'implique pas que 2xi=y ! Il se peut que y=0 ! (Théorème : "Quand on divise les deux membres d'une égalité par zéro on obtient n'importe quoi !")

En b ca me donne y=(x-1+2*i)/(1+i)

Je ne vois pas le rapport entre
[INDENT]"(z-1) (z(barre) + 2i) imaginaire"
et
"y=(x-1+2*i)/(1+i)"[/INDENT]

Je te conseille fortement de revoir ton cours sur les complexes...

Amicalement

Bon courage !

[Pikou88]

C'est vraiment très gentil de ta part Chimerade de prendre autant de temps pour repondre à nos questions en plus c'est très bien expliqué . Encore merci