Bonjour a tous ! Voici un exercice sur les complexe que j'ai quasiment fini:
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal
On considere la suite de points (M(n)) et la suite des affixes (Z(n)) définie par
Z(0)=8 et pour tout n de N, Z(n+1)=((1+i*racine carré de 3)/4)*Z(n)
1)Calculer le module et un argument du nombre complexe (1+i*racine carré de 3)/4. L'ecrire sous forme trigonométrique.
2)a.Calculer Z(1), Z(2), Z(3) et vérifier que Z(3) est réel.
b)Pour quelles valeurs de n, Z(n) est-il aussi réel ?
3)a.Calculer le rapport : module de ((Z(n+1)-Z(n))/Z(n+1))
b.En déduire que le triangle OM(n)M(n+1) est rectangle et que module de Z(n+1)-Z(n)=racine carré de 3*module de Z(n+1)
4)Pour tout entier n, on pose Un=module de (Z(n+1)-Zn)
a.Montrer que Un est une suite géométrique de raison 1/2, de premier terme 4*racine carré de 3.
b.En déduire la longueur Ln de la ligne brisée formée par les points M(0),M(1)....M(n).
c.Déterminer le limite de Ln lorsque Ln tend vers + l'infini.
Je bloque à la question 2)b. et aux 4) b et c. Pour ces dernieres questions j'avais eu l'idée de calculer la somme de le suite mais sa donne rien. Pour la 2 b je n'ai aucunes idées. Pour le reste ca va. Merci d'avance pour toutes aides.
DM nombres complexes
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DM nombres complexes
par Escroc » 09 Déc 2007, 13:05
“La sévérité prévient plus de fautes qu'elle n'en réprime” N.Bonaparte
par Escroc » 09 Déc 2007, 13:58
Personne pour m'aider ?
“La sévérité prévient plus de fautes qu'elle n'en réprime” N.Bonaparte
par Antho07 » 09 Déc 2007, 14:28
Un nombre complexe est reel si il a une partie imaginaire nulle
Quand on mutliplie deux complexes, les modules se multiplient , les arguments s'ajoutent
Quand on mutliplie deux complexes, les modules se multiplient , les arguments s'ajoutent
par Antho07 » 09 Déc 2007, 14:53
Pour la 2b, notons +isin(\frac{\pi}{3}))
On a=m (cos\theta+isin\theta))
avec m=module de z
=arg( z)
on z(0)8 donc m=8 et
=G \times z(0)= \frac{1/2} \times 8 (cos(0+\frac{\pi}{3})+isin(0+\frac{\pi}{3}))= 4(cos(\frac{\pi}{3}+isin(\frac{Pi}{3})))
Produit des modules, somme des argument
Ensuite meme principe
= z(1) \times G =2(cos(\frac{2\pi}{3})+isin(\frac{2\pi}{3})))
=z(2) \times G=1 \times (cos(\pi)+isin(\pi))=-1)
réel car sin(pi)=0
On voit alors bien par récurrence immediate que pour tous multiple de 3 z(n) est réel.
Pour en etre convaincu:
initialisation: vrai au rang n=0
supposon vrai au rang k(multiple de 3)
alors z(k)=j cos(a) réel j module, a argument (sina)=0
et alors=z(k)\times G^{3}=j \times (\frac{1}{2})^{3} \times(cos(a+3\times \frac{\pi}{3})+isin(a+3\frac{\pi}{3})))
+isin(a+\pi)))
or sin(a+pi)=-sin(a)=-0=0
donc finalement pour tout n multiple de 3 z(n) est réel
On a
on z(0)8 donc m=8 et
Produit des modules, somme des argument
Ensuite meme principe
On voit alors bien par récurrence immediate que pour tous multiple de 3 z(n) est réel.
Pour en etre convaincu:
initialisation: vrai au rang n=0
supposon vrai au rang k(multiple de 3)
alors z(k)=j cos(a) réel j module, a argument (sina)=0
et alors
or sin(a+pi)=-sin(a)=-0=0
donc finalement pour tout n multiple de 3 z(n) est réel
par Escroc » 09 Déc 2007, 15:15
génial mais il fallait y penser je te remercie pour ton aide. Et personne aurait une idée pour la 4) b. et c. ? merci d'avance
“La sévérité prévient plus de fautes qu'elle n'en réprime” N.Bonaparte
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