[TS] Nombres complexes

[Anonyme]

Bonjour,

Je bloque sur l'exercice suivant :

________________________________________________________________________
On considères :
-un quadrilatère convexe ABCD
-extérieurement au quadrilatère ABCD , le point M1 (respt M2,M3,M4) tel
que le triange AM1B (respectivement BM2C,CM3D,DM4A) soit rectangle et
isocèle de somment M1 (respectivement M2,M3,M4) .

Le but de l'exercice est de démontrer que les segments [M1M3] et [M2M4]
sont orthogonaux et ont même longueur.
Tout point N de coordonnées (x,y) dans le repère (O,u,v) a pour affixe
le nombre complexe z=x+iy .

1.Soit a, b ,c ,d les affixes respectives des points A,B,C,D et z1 z2
z3 z4 les affixes respectives des points M1 M2 M3 M4.

Démontrer que z1= (b-ia)/(1-i)

En déduire de même les expressions de z2, z3, z4 en fonction de a b c et d.

2. Démontrer que les segments [M1M3] et [M2M4] sont orthogaunaux et de
même longueurs.

___________________________________________________________________________

Je bloque dès la première question, je n'arrive pas a savoir comment
faire. J'ai essayé en utilisant les modules car les triangles sont
isocèles, et je n'avance pas. Meme chose avec les arguments. Peut etre
faudrait il par les transformations mais la encore je n'ai pas de point
dé départ.

Est ce que vous auriez une piste, indications ou solutions pour m'aider
s'il vous plait ?

Merci beaucoup

Bonne soirée

Cordialement.

[Anonyme]

"Benjamin" a écrit dans le message de news:
419e6a3c$0$11690$626a14ce@news.free.fr...
> Bonjour,
>
> Je bloque sur l'exercice suivant :
>
> ________________________________________________________________________
> On considères :
> -un quadrilatère convexe ABCD
> -extérieurement au quadrilatère ABCD , le point M1 (respt M2,M3,M4) tel
> que le triange AM1B (respectivement BM2C,CM3D,DM4A) soit rectangle et
> isocèle de somment M1 (respectivement M2,M3,M4) .
>
> Le but de l'exercice est de démontrer que les segments [M1M3] et [M2M4]
> sont orthogonaux et ont même longueur.
> Tout point N de coordonnées (x,y) dans le repère (O,u,v) a pour affixe
> le nombre complexe z=x+iy .
>
> 1.Soit a, b ,c ,d les affixes respectives des points A,B,C,D et z1 z2
> z3 z4 les affixes respectives des points M1 M2 M3 M4.
>
> Démontrer que z1= (b-ia)/(1-i)
>
> En déduire de même les expressions de z2, z3, z4 en fonction de a b c et
> d.
>
> 2. Démontrer que les segments [M1M3] et [M2M4] sont orthogaunaux et de
> même longueurs.
>
> ___________________________________________________________________________
>
> Je bloque dès la première question, je n'arrive pas a savoir comment
> faire. J'ai essayé en utilisant les modules car les triangles sont
> isocèles, et je n'avance pas. Meme chose avec les arguments. Peut etre
> faudrait il par les transformations mais la encore je n'ai pas de point
> dé départ.

Rectangle isocèle danc il y une rotation d'angle pi/2 ou -pi/2
Faire une rotation d'angle pi/2 revient à faire z'-zo=i(z-zo) ou zo est
l'affixe du centre

a+

[Anonyme]

jojolapin wrote:
> "Benjamin" a écrit dans le message de news:
> 419e6a3c$0$11690$626a14ce@news.free.fr...
>[color=green]
>>Bonjour,
>>
>>Je bloque sur l'exercice suivant :
>>
>>________________________________________________________________________
>>On considères :
>>-un quadrilatère convexe ABCD
>>-extérieurement au quadrilatère ABCD , le point M1 (respt M2,M3,M4) tel
>>que le triange AM1B (respectivement BM2C,CM3D,DM4A) soit rectangle et
>>isocèle de somment M1 (respectivement M2,M3,M4) .
>>
>>Le but de l'exercice est de démontrer que les segments [M1M3] et [M2M4]
>>sont orthogonaux et ont même longueur.
>>Tout point N de coordonnées (x,y) dans le repère (O,u,v) a pour affixe
>>le nombre complexe z=x+iy .
>>
>>1.Soit a, b ,c ,d les affixes respectives des points A,B,C,D et z1 z2
>>z3 z4 les affixes respectives des points M1 M2 M3 M4.
>>
>>Démontrer que z1= (b-ia)/(1-i)
>>
>>En déduire de même les expressions de z2, z3, z4 en fonction de a b c et
>>d.
>>
>>2. Démontrer que les segments [M1M3] et [M2M4] sont orthogaunaux et de
>>même longueurs.
>>
>>___________________________________________________________________________
>>
>>Je bloque dès la première question, je n'arrive pas a savoir comment
>>faire. J'ai essayé en utilisant les modules car les triangles sont
>>isocèles, et je n'avance pas. Meme chose avec les arguments. Peut etre
>>faudrait il par les transformations mais la encore je n'ai pas de point
>>dé départ.
>
>
> Rectangle isocèle danc il y une rotation d'angle pi/2 ou -pi/2
> Faire une rotation d'angle pi/2 revient à faire z'-zo=i(z-zo) ou zo est
> l'affixe du centre
>
> a+
>
>[/color]

Ok, merci bien, une fois fait ca, ca passe tout seul pour le reste.
A la seconde question j'ai utilisé les modules et le produit scalaire
pour démontrer que les segments étaient de même longueurs et
orthogaunaux et il n'y avait pas de problèmes, tout était cohérant.
Encore merci.
Bonne journée.

[Anonyme]

Exercice classique : configuration : triangle rectangle isocèle donc
rotation de centre le sommet du triangle et d'angle pi/2. Dans AM1B, le
vecteur M1B est l'image deu vecteur M1A dans cette rotation, donc b - z1
= i(a - z1). En mettant les z1 ensemble z1(1 - i) = b - ai ? 0 donc en
divisant le résultat demandé.
idem pour les autres autres (pas besoin de le refaire.
Pour la seconde question il suffit de calculer les affixes des vecteurs
M1M3 et M2M4 pour voir que l'un est egale à i fois l'autre donc l'image
dans une rotation de pi/2 donc ces vecteurs sont orthogonaux.
Denis

Benjamin a écrit:
> Bonjour,
>
> Je bloque sur l'exercice suivant :
>
> ________________________________________________________________________
> On considères :
> -un quadrilatère convexe ABCD
> -extérieurement au quadrilatère ABCD , le point M1 (respt M2,M3,M4) tel
> que le triange AM1B (respectivement BM2C,CM3D,DM4A) soit rectangle et
> isocèle de somment M1 (respectivement M2,M3,M4) .
>
> Le but de l'exercice est de démontrer que les segments [M1M3] et [M2M4]
> sont orthogonaux et ont même longueur.
> Tout point N de coordonnées (x,y) dans le repère (O,u,v) a pour affixe
> le nombre complexe z=x+iy .
>
> 1.Soit a, b ,c ,d les affixes respectives des points A,B,C,D et z1 z2
> z3 z4 les affixes respectives des points M1 M2 M3 M4.
>
> Démontrer que z1= (b-ia)/(1-i)
>
> En déduire de même les expressions de z2, z3, z4 en fonction de a b c et d.
>
> 2. Démontrer que les segments [M1M3] et [M2M4] sont orthogaunaux et de
> même longueurs.
>
> ___________________________________________________________________________
>
> Je bloque dès la première question, je n'arrive pas a savoir comment
> faire. J'ai essayé en utilisant les modules car les triangles sont
> isocèles, et je n'avance pas. Meme chose avec les arguments. Peut etre
> faudrait il par les transformations mais la encore je n'ai pas de point
> dé départ.
>
> Est ce que vous auriez une piste, indications ou solutions pour m'aider
> s'il vous plait ?
>
> Merci beaucoup
>
> Bonne soirée
>
> Cordialement.
>

[Anonyme]

Denis Vergs wrote:
> Exercice classique : configuration : triangle rectangle isocèle donc
> rotation de centre le sommet du triangle et d'angle pi/2. Dans AM1B, le
> vecteur M1B est l'image deu vecteur M1A dans cette rotation, donc b - z1
> = i(a - z1). En mettant les z1 ensemble z1(1 - i) = b - ai ? 0 donc en
> divisant le résultat demandé.
> idem pour les autres autres (pas besoin de le refaire.
> Pour la seconde question il suffit de calculer les affixes des vecteurs
> M1M3 et M2M4 pour voir que l'un est egale à i fois l'autre donc l'image
> dans une rotation de pi/2 donc ces vecteurs sont orthogonaux.
> Denis

Je n'ai pas pensé a faire comme ca en effet, ca aurait été plus rapide
et plus simple. Je l'ai fait en deux étapes, par le produits scalaire et
avec le calcul des vecteurs. Mais ca avait l'air de bien marché quand meme.
En tout état de cause merci a tout les deux et maintenant je me
rappellerai que lorsqu'il y a orthogonalité il y a forcément une
rotation par i qui traine par la...

> Benjamin a écrit:
>[color=green]
>> Bonjour,
>>
>> Je bloque sur l'exercice suivant :
>>
>> ________________________________________________________________________
>> On considères :
>> -un quadrilatère convexe ABCD
>> -extérieurement au quadrilatère ABCD , le point M1 (respt M2,M3,M4)
>> tel que le triange AM1B (respectivement BM2C,CM3D,DM4A) soit
>> rectangle et isocèle de somment M1 (respectivement M2,M3,M4) .
>>
>> Le but de l'exercice est de démontrer que les segments [M1M3] et
>> [M2M4] sont orthogonaux et ont même longueur.
>> Tout point N de coordonnées (x,y) dans le repère (O,u,v) a pour affixe
>> le nombre complexe z=x+iy .
>>
>> 1.Soit a, b ,c ,d les affixes respectives des points A,B,C,D et z1 z2
>> z3 z4 les affixes respectives des points M1 M2 M3 M4.
>>
>> Démontrer que z1= (b-ia)/(1-i)
>>
>> En déduire de même les expressions de z2, z3, z4 en fonction de a b c
>> et d.
>>
>> 2. Démontrer que les segments [M1M3] et [M2M4] sont orthogaunaux et de
>> même longueurs.
>>
>> ___________________________________________________________________________
>>
>>
>> Je bloque dès la première question, je n'arrive pas a savoir comment
>> faire. J'ai essayé en utilisant les modules car les triangles sont
>> isocèles, et je n'avance pas. Meme chose avec les arguments. Peut etre
>> faudrait il par les transformations mais la encore je n'ai pas de
>> point dé départ.
>>
>> Est ce que vous auriez une piste, indications ou solutions pour
>> m'aider s'il vous plait ?
>>
>> Merci beaucoup
>>
>> Bonne soirée
>>
>> Cordialement.
>>
>[/color]