Re: NOMBRES COMPLEXES

par **harsisi** » 30 Sep 2018, 19:17

Salut à tous, besoin d'aide
Resoudre dans C l'equation suivante
z²=15+8i

par **pascal16** » 30 Sep 2018, 19:22

aversion analytique
soit un complexe a+ib
z²=(a+ib)²=15+8i
système non linéaire à résoudre en a et b

soit la même chose mais avec la forme géométrique

par **harsisi** » 30 Sep 2018, 19:28

okk merci

par **pascal16** » 30 Sep 2018, 20:14

tu dois tomber sur des chiffres ronds
a²=16 après avoir éliminer l'autre racine car a est réel et a² ne peut être négatif
soit a= +4 ou -4
et b= 4/a

par **LB2** » 01 Oct 2018, 09:46

ce qui revient à remarquer que 15 est l'écart entre deux carrés : 15=4^2-1^2 et on "remarque" donc l'identité remarquable 15+8i=(4+i)^2

par **Ben314** » 01 Oct 2018, 10:01

Salut,
Pour résoudre ce type de système, il y a quand même une astuce classique (et parfaitement compréhensible pour un Lycéen) consistant à dire que, si

alors :
- Les parties réelles sont les mêmes :

- Les parties imaginaires sont les mêmes :

- Mais les modules sont aussi les mêmes :

Et la première et la troisième équation permettent d'aller très vite dans la résolution (attention par contre à tenir compte de la deuxième qui impose que a et b soient de même signe)

par **pascal16** » 01 Oct 2018, 10:43

LB2 : oui, la calculette donne ce résultat
mais comment ensuite justifier qu'il y a une seconde solution et pas d'autres ?

par **Ben314** » 01 Oct 2018, 11:11

pascal16 a écrit:LB2 : oui, la calculette donne ce résultat
mais comment ensuite justifier qu'il y a une seconde solution et pas d'autres ?

Quand on enseigne ça (en L1 en ce moment), ce qu'on dit (et démontre) en cours, c'est qu'un complexe non nul quelconque admet toujours exactement deux racines carrées (et en général on montre même qu'il admet n racines n-ièmes en passant par la forme polaire)
Donc ça permet de justifier ensuite que, si on utilise que la première et la troisième équation, on a 4 solution (choix du signe de a et de b) donc trop de solutions, mais qu'en utilisant aussi la deuxième mais uniquement pour le signe du produit qu'elle donne, on redescend à 2 solution et donc qu'on les a toutes.
Bref, la justification repose sur le fait qu'on connaît la théorie qui dit qu'on doit trouver exactement 2 solutions.

Si on ne connaît pas la théorie, j'ai bien peut qu'il faille se farcir "à la main" le calcul de

pour vérifier que ça fait bien la valeur attendue. Ici, c'est super simple vu que a et b sont entier, mais dans le cas général où a et b s'expriment en terme de racine de racine, pour un "non averti" (qui ne visualise pas qu'il a une identité remarquable sous les yeux), c'est un peu fastidieux...

Re: NOMBRES COMPLEXES