DM nombres complexes TS

[Cynt]

Bonjour, j'ai un exercice sur les complexes à réaliser. Voici l'énoncé :
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct (O,u,v) d'unité graphique 2 cm. On considère l'application f du plan dans lui-même qui, à tout point M d'affixe z, associe le point M' d'affixe z' = z² - 4z.

1. On note A et B les points d'affixes respectives zA = 1 -i et zB = 3 + i.
1.1 Calculer l'affixe des points A' et B' images respectives de A et B par z.
Donc ici, pas de problème : j'ai trouvé zA' = 2i - 4 et zB' = 2i - 4.

1.2 On suppose que les deux points ont le même image par f. Démontrer qu'ils sont confondus ou que l'un est l'image de l'autre par une symétrie centrale que l'on précisera.
Alors là, je ne comprends pas la question puisque, si 2 points ont la même image par f, alors ils sont forcément confondus...

2. Soit I le point d'affixe -3
2.1 Démontrer que le quadirlatère est un parallélogramme si et seulement si z² - 3z + 3 = 0.
Ici, j'ai essayé de faire :
SI OMIM' est un parallélogramme, alors :
vecteur OM = vecteur M'I et vecteur OM' = vecteur MI
M(x;y), M'(x';y'), O(0,0) et I(-3;0)
Donc vecteur OM(xM-xO;yM-yO) = OM(x;y)
et vecteur M'I(xI-xM';yI-yM') = M'I(-3-x';-y')
Donc x=-3-x' et y = -y'
Mais après, je ne sais pas quoi faire de ça...

2.2 Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation z² - 3z +3 = 0.
Je n'ai pas eu de problème ici :
J'ai trouvé delta = -3
Donc z1 = 1,5 - (;)3/2)i et z2 = 1,5 + (;)3/2)i

3.1 Exprimer z' + 4 en fonction de z-2. EN déduire une relation en |z'-2| et |z-2|, puis entre arg(z'+4) et arg(z-2).
J'ai essayé de faire z' = z² -4 z donc z' + 4 = z² - 4z +4, mais ça ne résout pas vraiment le problème...

3.2 Les points J et K ont pour affixes respectives zJ = 2 et zK = -4.
Démontrer que tous les points M du cercle (C) de centre J et de rayon ont leurs images M' sur un même cercle que l'on déterminera.
...

3.3 E est le point d'afixe zE = -4 -3i.
Donner la forme trigonométrique de zE + 4 à l'aide du résultat de la question 3.1, puis démontrer qu'il existe deux points dont l'image par f est E.
Préciser sous forme algébrique l'affixe de ces deux points.
Vu que je n'ai pas répondu à la question 3.1, ça va être difficile de répondre à cette question là.

Merci beaucoup pour votre aide (oui je sais, il y a du boulot ! )

[Sourire_banane]

Bonjour, j'ai un exercice sur les complexes à réaliser. Voici l'énoncé :
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct (O,u,v) d'unité graphique 2 cm. On considère l'application f du plan dans lui-même qui, à tout point M d'affixe z, associe le point M' d'affixe z' = z² - 4z.

1. On note A et B les points d'affixes respectives zA = 1 -i et zB = 3 + i.
1.1 Calculer l'affixe des points A' et B' images respectives de A et B par z.
Donc ici, pas de problème : j'ai trouvé zA' = 2i - 4 et zB' = 2i - 4.

1.2 On suppose que les deux points ont le même image par f. Démontrer qu'ils sont confondus ou que l'un est l'image de l'autre par une symétrie centrale que l'on précisera.
Alors là, je ne comprends pas la question puisque, si 2 points ont la même image par f, alors ils sont forcément confondus...

2. Soit I le point d'affixe -3
2.1 Démontrer que le quadirlatère est un parallélogramme si et seulement si z² - 3z + 3 = 0.
Ici, j'ai essayé de faire :
SI OMIM' est un parallélogramme, alors :
vecteur OM = vecteur M'I et vecteur OM' = vecteur MI
M(x;y), M'(x';y'), O(0,0) et I(-3;0)
Donc vecteur OM(xM-xO;yM-yO) = OM(x;y)
et vecteur M'I(xI-xM';yI-yM') = M'I(-3-x';-y')
Donc x=-3-x' et y = -y'
Mais après, je ne sais pas quoi faire de ça...

2.2 Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation z² - 3z +3 = 0.
Je n'ai pas eu de problème ici :
J'ai trouvé delta = -3
Donc z1 = 1,5 - (;)3/2)i et z2 = 1,5 + (;)3/2)i

3.1 Exprimer z' + 4 en fonction de z-2. EN déduire une relation en |z'-2| et |z-2|, puis entre arg(z'+4) et arg(z-2).
J'ai essayé de faire z' = z² -4 z donc z' + 4 = z² - 4z +4, mais ça ne résout pas vraiment le problème...

3.2 Les points J et K ont pour affixes respectives zJ = 2 et zK = -4.
Démontrer que tous les points M du cercle (C) de centre J et de rayon ont leurs images M' sur un même cercle que l'on déterminera.
...

3.3 E est le point d'afixe zE = -4 -3i.
Donner la forme trigonométrique de zE + 4 à l'aide du résultat de la question 3.1, puis démontrer qu'il existe deux points dont l'image par f est E.
Préciser sous forme algébrique l'affixe de ces deux points.
Vu que je n'ai pas répondu à la question 3.1, ça va être difficile de répondre à cette question là.

Merci beaucoup pour votre aide (oui je sais, il y a du boulot ! )

1) J'ai pas vérifié... On va te faire confiance.

2) Non pas forcément. Par exemple, x -> x² définie de R dans R+ est une fonction surjective et non injective. Cela implique qu'à un élément de l'ensemble image peuvent correspondre deux antécédents !
Donc ici va falloir résoudre z1'=z2'.
Par contre je pense que l'énoncé peut induire en erreur. Je n'aime pas le "les deux points". Je suppose plutôt qu'il voulait dire "soient deux points ayant la même image par f".

3) Je vais manger, à toute.

[paquito]

Si z1 et z2 ont la même image, on a z1²-z2²=4(z1-z2), soit (z1+z2)(z1-z2)=4(z1-z2) donc soit z1=z2, soit z1+z2=4 soit z1=-z2+4 ou encore z1-2=-(z2-2) et z1 et z2 s'échangent dans la symétrie de centreA(2).

IM'=MO s'écrit z²-4z+3=-z.

z'+4=z²-4z+4=(z-2)² donc mod(z'+4)=mod²(z-2) et arg (z'+4)=2arg(z-2)

en complexe, l'équation d'un cercle de centre J est mod(z-2)=R ou mod²(z-2)=R² ce qui donne mod(z'+4)=R² z' est sur le cercle de centre K et de rayon R².
zE+4 =-3i !!!
On se ramène à (z-2)²=-3i=3e^-pi/2.