Nombres complexes.

par **slavik** » 27 Nov 2010, 19:37

Bonsoir,
j'ai un problème face à un exercice.
Aidez-moi s'il vous plait.

z=1-racine(3)+i(1+racine(3))

1) Ecrire z² sous forme algébrique.

z²= a²-2abi-b²

2)Détérminer le module et un argument de z²

|z²|=racine((a²-b²)²+(2ab)²)
arg(z)=cos^-1(partie réélle/|z²|)

Est-ce que dans cette partie faut continuer sous forme algébrique?

Ensuite il faut indiquer le signe de la partie réélle de z et celui de la partie imaginaire, puis, en déduiire à l'aide des propriétés sur le module et arguments, le module et un argument de z.
Je sais pas comment faire.

par **Sylviel** » 27 Nov 2010, 19:47

Plusieurs points :
- tu n'as pas répondu à la question a), puisque tu n'as pas mené les calculs
- s'il n'y a pas de soucis pour le module, il y a un soucis pour l'argument...

Pour passer de z² à z écris z sous forme exponentielle, que vaux z² dans ce cas ?

par **slavik** » 27 Nov 2010, 19:55

Sylviel a écrit:Plusieurs points :
- tu n'as pas répondu à la question a), puisque tu n'as pas mené les calculs
- s'il n'y a pas de soucis pour le module, il y a un soucis pour l'argument...

Pour passer de z² à z écris z sous forme exponentielle, que vaux z² dans ce cas ?

Pourtant j'ai donné z² sous forme algébrique non?
En considérant z=a+bi.
Hélas nous n'avons pas encore fait la forme exponentielle.
Et qu'est ce qui ne va pas pour l'argument?
Etant donné que cos(téta)=(partie réélle)/|z²|
et sin(téta)=(partie imaginaire)/|z²|

par **Sylviel** » 27 Nov 2010, 19:57

Non tu n'as pas donné la réponse car tu t'es contenté d'écrire avec des a et des b (non définit d'ailleurs) alors qu'ici tu as des valeurs numériques.

La forme exponentielle c'est

es-tu vraiment certain de ne l'avoir pas fait ?

Pour ce qui est du problème d'argument : en ne te servant que du cosinus tu te prives d'une partie des informations. Si tu regardes le cercle trigonométrique le cosinus ne te permet pas de dire si tu es au dessus ou en dessous de l'horizontale. Exemple tu ne peux pas différencier

et

par exemple...

par **slavik** » 27 Nov 2010, 19:59

Sylviel a écrit:Non tu n'as pas donné la réponse car tu t'es contenté d'écrire avec des a et des b (non définit d'ailleurs) alors qu'ici tu as des valeurs numériques.

La forme exponentielle c'est es-tu vraiment certain de ne l'avoir pas fait ?

Oui sur et certain nous n'avons fait qu'approcher les nombres complexes et les calculs et la "géométrie".

Ben la première question est:
1) Ecrire z² sous forme algébrique.
Algébrique c'est avec les lettres non?

par **Sylviel** » 27 Nov 2010, 20:01

Non la forme algébrique c'est a + ib par opposition à exponentielle

. Ici tu as
a = ...
b = ...

Donc z² = ... + i ...
(et je ne veux pas voir de a et de b, mais seulement des nombres !)

par **slavik** » 27 Nov 2010, 20:08

Sylviel a écrit:Non la forme algébrique c'est a + ib par opposition à exponentielle . Ici tu as
a = ...
b = ...

Donc z² = ... + i ...
(et je ne veux pas voir de a et de b, mais seulement des nombres !)

a=3(1-racine(3))
b=-4

Et qu'est ce qui ne va pas avec le cosinus?

par **Sylviel** » 27 Nov 2010, 20:12

Pour le cos : J'ai répondu (en éditant), dans un message précédent, l'as-tu vu ?

z=1-racine(3)+i(1+racine(3))
je ne retrouve pas ton a et ton b moi...
a = Re(z) = ...
b = Im(z) = ...

Re(z²) = ...
Im(z²) = ...

Quel est ta définition de l'argument principal (ou d'un argument) ?
Connais tu la formule de Moivre ?

par **slavik** » 27 Nov 2010, 20:25

Sylviel a écrit:Pour le cos : J'ai répondu (en éditant), dans un message précédent, l'as-tu vu ?

z=1-racine(3)+i(1+racine(3))
je ne retrouve pas ton a et ton b moi...
a = Re(z) = ...
b = Im(z) = ...

Re(z²) = ...
Im(z²) = ...

Quel est ta définition de l'argument principal (ou d'un argument) ?
Connais tu la formule de Moivre ?

z²=2-3i

C'est ca cette fois?
Non je ne connais pas la formule de Moivre.

MAis en calculant le sinus on pourra savoir s'il est au dessus ou en dessous de l'horizontale non?

par **slavik** » 27 Nov 2010, 20:26

Un argument est toute mesule de (u;OM) [2;)] u et OM vecteurs.
On le note arg(z)

par **Sylviel** » 27 Nov 2010, 20:36

Non je ne trouve pas cela... Peux tu détailler les calculs ?

Oui avec le sinus tu peux le déterminer, mais on ne peux pas écrire que l'argument vaux cos^-1 de quelquechose... Pas sans autres précautions du moins.

Sans la forme exponentielle (ou trigonométrique) passer de z² à z c'est plutôt chiant. A mais attends, tu as des propriétés sur le module et l'argument ?

par **slavik** » 27 Nov 2010, 20:45

Sylviel a écrit:Non je ne trouve pas cela... Peux tu détailler les calculs ?

Oui avec le sinus tu peux le déterminer, mais on ne peux pas écrire que l'argument vaux cos^-1 de quelquechose... Pas sans autres précautions du moins.

Sans la forme exponentielle (ou trigonométrique) passer de z² à z c'est plutôt chiant. A mais attends, tu as des propriétés sur le module et l'argument ?

J'ai quelques propriétés sur le module mais pas l'argument.

Pour ce qui est de mes calculs, je les ai refais et je trouve
z²=2-racine(3)-3i

car
z=a+bi
ou a=1-racine(3) et b=1+racine(3)
et z²=a²+2abi-b²
z²=(1-racine(3))²+2(1-racine3)(1+racine3)i-(1+racine3)²
z²=2-3i+1-2racine(3)+3-1-2racine(3)-3
z²=2-4racine(3)-3i

par **Sylviel** » 27 Nov 2010, 20:53

Tu as encore une erreur dans tes calculs. Si tu n'as aucune propriété sur l'argument l'exercice n'est pas encore de ton programme... Mais jette un oeil sur la forme exponentielle des complexes, c'est très simple et pratique :-)

Repars de :
z²=(1-racine(3))²+2(1-racine3)(1+racine3)i-(1+racine3)²
et essaie d'utiliser les identités remarquables pour te simplifier la vie.

par **slavik** » 27 Nov 2010, 21:01

Sylviel a écrit:Tu as encore une erreur dans tes calculs. Si tu n'as aucune propriété sur l'argument l'exercice n'est pas encore de ton programme... Mais jette un oeil sur la forme exponentielle des complexes, c'est très simple et pratique

Repars de :
z²=(1-racine(3))²+2(1-racine3)(1+racine3)i-(1+racine3)²
et essaie d'utiliser les identités remarquables pour te simplifier la vie.

z²=-4racine(3)+(2-2racine(3))i
Non?

par **Sylviel** » 27 Nov 2010, 21:06

:cry:

J'ai presque envie de m'arrêter là.
2(1-racine3)(1+racine3) = 2(1-3)=-4
(1-racine(3))²-(1+racine3)²=(1-racine(3)-1-racine3)(1+racine3+1-racine3)= ...

Non ?

par **slavik** » 27 Nov 2010, 21:15

Sylviel a écrit::cry:

J'ai presque envie de m'arrêter là.
2(1-racine3)(1+racine3) = 2(1-3)=-4
(1-racine(3))²-(1+racine3)²=(1-racine(3)-1-racine3)(1+racine3+1-racine3)= ...

Non ?

(1-racine(3))²-(1+racine3)²=(1-racine(3)-1-racine3)(1+racine3+1-racine3)=-4racine(3)

Pff j'ai juste oublié dans l'identité remarquable:
2(1-racine3)(1+racine3) = 2(1-3)=-4

De ramener la racine au carré =(

Pff pathétique =( :cry:

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