Multiples et diviseurs

[Samu07]

On dispose de 100 lampes numérotées de 1 à 100,dotées d'interrupteurs. Au début, elles sont toutes éteintes.

•A la 1ere étape, on agit sur tous les interrupteurs allumant ainsi toutes les lampes.

•A la 2e étape, on n'agit que sur les interrupteurs dont le numéro est un multiple de 2,éteignant ainsi une partie des lampes.

•A la 3e étape, on n'agit que sur les interrupteurs dont le numéro est un multiple de 3 ,etc.

Après la 100e étape quelles seront les lampes allumées ?

Piste: déterminer 'état final des lampes nº 2,12,25,68,81.

Émettre une conjecture sur les lampes qui restent allumées à la 100e étape puis la démontrer.

[GaBuZoMeu]

Bonsoir,

Bel exercice. Qu'as-tu essayé ? As-tu suivi la piste qui est donnée ? Que trouves-tu pour 2 ? pour 12 ? pour 25 ?

Pour suivre la même piste, mais peut-être plus facilement : que se passe-t-il pour les lampes n° 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 ?

[aymanemaysae]

Bonjour;


Dans le cas où on a n lampes et n étapes , l'état d'une lampe ne varie que si le numéro qu'elle porte
est divisible par le numéro de l'étape ; donc le nombre de variations de l'état d'une lampe est le nombre
de diviseurs de son numéro .

Comme le nombre des états de la lampe est 2 , donc si le nombre des diviseurs du numéro de la
lampe est impair alors la lampe est allumée , sinon elle est éteinte .

Pour la lampe n° 1 ; on sait que 1 n'a qu'un seul diviseur , donc le nombre de diviseurs de 1 est impair ,
donc après n étapes la lampe n° 1 est allumée .

Pour la lampe n° 2 ; on sait que 2 a deux diviseurs , donc le nombre de diviseurs de 2 est pair , donc
après n étapes la lampe n° 2 est éteinte .

Pour la lampe n° 3 ; on sait que 3 a deux diviseurs , donc le nombre de diviseurs de 3 est pair , donc
après n étapes la lampe n° 3 est éteinte .

Pour la lampe n° 4 ; on sait que 4 = 2² a trois diviseurs , donc le nombre de diviseurs de 4 est impair ,
donc après n étapes la lampe n° 4 est allumée .

En général , si le numéro de lampe est un nombre premier , alors le nombre de ses diviseurs est 2 ;
donc le nombre de ses diviseurs est pair , donc après n étapes la lampe est éteinte .
Et si le numéro de lampe est un carré parfait , alors le nombre de ses diviseurs est impair ; donc après
n étapes la lampe est allumée .

Je ne sais pas si on peut émettre d'autres généralisations .

[GaBuZoMeu]

aymaneetc., j'ai l'impression que tu fais un peu le travail à la place de Samu07, non ?

Une indication : si k est un diviseur de n entier >0, alors n/k aussi.

[aymanemaysae]

Bonjour;


En ce qui concerne ta remarque , tu as raison GaBuZoMeu .

Pour ton indication , je dis qu'elle est géniale : avec elle , on peut dire que le nombre de diviseurs d'un nombre entier naturel non nul qui est un carré parfait est impair , et le nombre de diviseurs d'un nombre entier naturel non nul qui n'est pas un carré parfait est pair .

Pour terminer , je me demande où est passé Samu07 ?