Mesures D'un Tableau

[stephane61]

Bonjour,

Je suis en seconde et voici un exercice sur lequel je bloque complètement: Pouvez-vous m'aider SVP ?

une galerie d'arts va bientôt fêter ses 20 ans. Pour cette occasion son propriétaire veut décorer la pièce principale d'un immense tableau de 4 m sur 3 m. Le peintre pense que pour être harmonieux, l'aire du contour en blanc devra être égale à l'aire de la partie peinte (en foncé). On désigne x la largeur du contour en mètres. Déterminer x pour que la condition proposée par le peintre soit réalisée. On pourra développer (x-3)(2x-1)

http://imagesia.com/photomathdm-002_iloi

j'ai donc développer : 2x²-x-6x+3=2x²-7x+3 et alors ???

MERCI D'AVANCE A CEUX QUI M'AIDERONT

[L.A.]

Bonsoir.

Simplifie d'abord des deux côtés par 2x², puis regroupe les x.

[L.A.]

Bonsoir.

Commence par exprimer les aires blanches et noires en fonction de x.
Par exemple, pour la surface noire, c'est un rectangle de longueur (4-2x) et de largeur (3-2x).

[stephane61]

Bonsoir L.A. et merci de m'avoir répondu :

Donc surface noire (4-2x)(3-2x)
surface blanche (4*3)-(4-2x)(3-2x)?

[L.A.]

D'accord, maintenant quelle est la condition que ces deux aires doivent vérifier ?

[stephane61]

Elles doivent être égales donc (4-2x)(3-2x)=(4*3)-(4-2x)(3-2x) ? Puis je développe de chaque côté soit 12-8x-6x+4x²=12-(12-8x-6x+4x²)
12-14x+4x²=12-12+8x+6x-4x²
12-14x+4x²=8x+6x-4x² c'est pas bon je pense?

[L.A.]

Non c'est tout bon (tu ne te fais pas assez confiance...)

Rassemble tous les termes du même côté, puis compare avec l'expression qu'on te demandait de développer et tu devrais remarquer quelque chose.

[stephane61]

12-14x+4x²=14x-4x²
12-14x+4x²-14x+4x²
12-28x+8x²? Désolé je suis long à comprendre ! Merci pour votre aide

[L.A.]

Attention, "A=B" devient "A-B=0" (n'oublie pas le "=0")

j'ai donc développer : 2x²-x-6x+3=2x²-7x+3

Conclusion ? Pour quelle(s) lageur(s) x de la bande blanche les deux surfaces sont-elles égales ?

[stephane61]

12-14x+4x²=14x-4x²
12-14x+4x²-14x+4x²=0
12-28x+8x²=0

Je cherche mais j'ai honte je reste bloqué à cause du 8x² : je m'embrouille. Je n'arrive pas à voir le lien avec 2x²-7+3

[L.A.]

Correction :

Je n'arrive pas à voir le lien avec 2x²-7x+3

Compare les coefficients des deux trinômes deux à deux : le 2 avec le 8, le (-7) avec le (-28), le 3 avec le 12. Qu'est-ce que tu remarques ?

[stephane61]

Je remarque que 2*4 =8 ; -7*4=-28 et 3*4=12

Je suis trop fatigué d'avoir cherché toute l'après-midi (au lieux d'avoir chercher des oeufs de paques) du coup j'arrive plus à rien. Demain je vais rééssayer de mettre tout ça au propre. Si vous pouviez venir voir si vous avez 5 minutes dans l'après-midi si j'ai réussi à trouver. J'ai essayer de remplacer x par 3 dans l'égalité A=B que l'on a fait ensemble et cela me donne 6 de chaque côté donc x = 3? mais même si c'était ça je l'ai trouvé en prenant des chiffres au hasard donc c'est pas la bonne méthode.

A demain j'espère et encore un gros merci pour votre aide. Bonne nuit!

[L.A.]

Je remarque que 2*4 =8 ; -7*4=-28 et 3*4=12

Je suis trop fatigué d'avoir cherché toute l'après-midi (au lieux d'avoir chercher des oeufs de paques) du coup j'arrive plus à rien. Demain je vais rééssayer de mettre tout ça au propre. Si vous pouviez venir voir si vous avez 5 minutes dans l'après-midi si j'ai réussi à trouver. J'ai essayer de remplacer x par 3 dans l'égalité A=B que l'on a fait ensemble et cela me donne 6 de chaque côté donc x = 3? mais même si c'était ça je l'ai trouvé en prenant des chiffres au hasard donc c'est pas la bonne méthode.

A demain j'espère et encore un gros merci pour votre aide. Bonne nuit!

Tu es sur la bonne voie, tes constatations sont bonnes.

Si je résume, tu as vérifié que si x est une largeur qui égalise les deux aires, alors x vérifie l'équation 8x² - 28x +12 = 0. Il ne te reste plus qu'à résoudre cette équation, et tu peux y arriver facilement en la factorisant (étape qui t'est donnée par l'indice).

A demain :lol3: (si ce n'est pas moi, une autre âme charitable te viendra en aide...)

[stephane61]

Bonjour,

j'ai essayé de mettre au propre ce qu'on a vu hier :

(4-2x)(3-2x)=(4*3)-(4-2x)(3-2x)
12-8x-6x+4x²=12-(12-8x-6x+4x²)
12-8x-6x+4x²=12-12+8x+6x-4x²
12-14x+4x²-14x+4x²=0
12-28x+8x²=0
(8x-4)(x-3)=0
8x-4=0 ou x-3=0
8x=4 x=3
x=4/8
x=0.5

Il y a deux solutions 0.5 ou 3 est-ce que c'est bon cette fois ? Si non je ne vois pas comment faire autrement! Donc si c'est bon le (x-3)(2x-1) donné dans l'énoncé était là que comme indice ? Je ne le mets nul part dans mes calculs ?

[paquito]

(x-3)(2x-1)=2x²-7x+3; utilise l'expression factorisée pour résoudre ton équation.

[stephane61]

Bonjour et merci de me répondre. J'ai dû corriger ma réponse en même temps que vous me répondiez et j'ai trouvé deux solutions : 0.5 et 3 (voir message précédent). Bon ?

Si je résous (x-3)(2x-1) = 0
x-3=0 ou 2x-1=0 =>2x=1=>x=1/2
x=3

Je trouve les mêmes résultats donc dans mon devoir je dois mettre ce calcul ou mon calcul :

(4-2x)(3-2x)=(4*3)-(4-2x)(3-2x)
12-8x-6x+4x²=12-(12-8x-6x+4x²)
12-8x-6x+4x²=12-12+8x+6x-4x²
12-14x+4x²-14x+4x²=0
12-28x+8x²=0
(8x-4)(x-3)=0
8x-4=0 ou x-3=0
8x=4 =>x=4/8=0.5 ou x=3

Merci beaucoup pour votre aide

[paquito]

Bonjour et merci de me répondre. J'ai dû corriger ma réponse en même temps que vous me répondiez et j'ai trouvé deux solutions : 0.5 et 3 (voir message précédent). Bon ?

Si je résous (x-3)(2x-1) = 0
x-3=0 ou 2x-1=0 =>2x=1=>x=1/2
x=3

Je trouve les mêmes résultats donc dans mon devoir je dois mettre ce calcul ou mon calcul :

(4-2x)(3-2x)=(4*3)-(4-2x)(3-2x)
12-8x-6x+4x²=12-(12-8x-6x+4x²)
12-8x-6x+4x²=12-12+8x+6x-4x²
12-14x+4x²-14x+4x²=0
12-28x+8x²=0
(8x-4)(x-3)=0
8x-4=0 ou x-3=0
8x=4 =>x=4/8=0.5 ou x=3

Merci beaucoup pour votre aide

Ta solution est tout à fait correcte; si tu simplifies 4/8, ce sera parfait.

[stephane61]

OK merci beaucoup !!!

[L.A.]

Il manque un dernier petit point ! !

L'une des deux solutions doit être éliminée si on en revient au problème de départ.

[paquito]

Tel que le problème a été posé, la solution x=3 est à éliminer puisque x>=1,5 normalement, mais si on regarde avec géogébra, on a une solution valide, mais limite avec comme solution un rectangle de largeur 2 et de hauteur 3, l'autre solution est un rectangle de largeur 3 et de hauteur 2. Faut il considérer des résultats négatifs comme intermédiaires? J'avoue que cet exercice m'intrigue!