Matrices et systèmes linéaires

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olivier 02
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Matrices et systèmes linéaires

par olivier 02 » 27 Mar 2008, 23:35

Bonsoir,
je dois exprimer le système S sous la forme AX=B où X et B sont des vecteurs colonnes.
Puis ensuite je dois en déduire la solution du système (S).

Enoncé:
........3 4 ..................3 -4
A = (........) et A' = (.........)
........2 3 ..................-2 3


(S) =...3x + 4y = 2
..........2x + 3y = -1

Ps: A et A' sont des matrices

Dans l'attente de votre réponse, qui me sera très utile pour la suite de mon exercice.
Cordialement.



Nightmare
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par Nightmare » 27 Mar 2008, 23:37

Bonsoir

On prend et

Nous somme d'accord pour dire que l'équation revient à avec

Pour la résoudre il suffit de trouver l'inverse de A. Je te laisse faire.

Nightmare
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par Nightmare » 27 Mar 2008, 23:45

Tu sais l'interet d'un forum c'est qu'on peut mettre plusieurs messages à la suite, pas besoin de continuer une discussion en message privé !

Qu'est-ce que tu n'as pas compris dans la suite? Et puis ta matrice inverse est fausse (fait le produit pour t'en convaincre).

Je dirais plutot

olivier 02
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par olivier 02 » 27 Mar 2008, 23:55

Désolé de vous avoir répondu en privé.

J'ai déduit cela car la première question de l'exercice est: Vérifier que la matrice A' est l'inverse de la matrice A

Déja là, je ne comprend pas!!

Nightmare
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par Nightmare » 28 Mar 2008, 00:07

Euh oui c'est une erreur idiote de ma part j'avais la bonne matrice A sur mon brouillon.

Effectivement A' est bien l'inverse de A.

Bon, on revient à notre équation.

On a AX=B
Ne vois-tu pas comment arriver à X= quelque chose en utilisant l'inverse de A?

(P-S : Tu peux me tutoyer)

olivier 02
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par olivier 02 » 28 Mar 2008, 00:10

Même après avoir re-regardé dans mon livre, je ne vois pas du tout comment faire. Je n'arrive à faire aucun rapprochement.

Nightmare
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par Nightmare » 28 Mar 2008, 00:13

Qu'est-ce qu'une matrice inverse? Comment est-elle définie?

olivier 02
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par olivier 02 » 28 Mar 2008, 00:15

Pour moi une matrice inverse, c'est lorsque l'on inverse les lignes du matrice par les collones et inversement.
C'est bien ça?

Nightmare
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par Nightmare » 28 Mar 2008, 00:21

Euh, regarde A et regarde A', tu crois vraiment que c'est ce que l'on a fait là?

La matrice inverse A' de A est définie telle que A'A=AA'=I (où I est la matrice identité (des 1 sur la diagonales et que des 0 sinon)

Avec ça, vois-tu comment passer de AX=B à X=...

L'idée tu l'as compris, c'est "d'éliminer" le A à gauche.

Bon si tu veux on revient à plus basique.

Si je te dis que ax=b où cette fois-ci a, x et b sont des réels.
Comment arrives-tu à x=quelque chose ?

olivier 02
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par olivier 02 » 28 Mar 2008, 00:32

Ah oui!! Je pense que X = B/A C'est ca?

A partir de là, comment dois-je procéder pour exprimer le système S sous la forme AX=B où X et B sont des vecteurs collonnes.
Puis ensuite je dois aussi en déduire la solution du système (S)

Nightmare
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par Nightmare » 28 Mar 2008, 00:38

bon en effet dans le cas réel on a x=b/a.
Sauf que dans le cas matriciel, la division par une matrice ça ne veut rien dire. Mais intuitivement ce qu'on va faire c'est la même chose.

Concentrons nous sur le cas réel. En fait lorsqu'on écrit que ax=b revient à x=b/a qu'a-t-on fait?

Et bien on est parti de ax=b et on a multiplié par 1/a des deux côtés.
On a alors 1/a * ax=b*1/a
Et 1/a * a étant égal à 1, il nous reste x=b*1/a ce qui, dans le cas réel, s' abrège en x=b/a. Tu as compris la démarche? Tout ça peut paraitre basique mais si tu as compris ce qui se passait alors tu devrais pouvoir passer de AX=B à X= quelque chose.

La clé de la résolution de ax=b c'est la multiplication par 1/a, car multiplier a par 1/a nous permet d'arriver à 1 (nombre que l'on pourrait aussi appeler identité).
Qu'est-ce qui dans le cas matriciel nous permet de passer de A à I (L'identité) ?

Si tu arrives à répondre à cette question tu peux donc résoudre AX=B dans le cas matriciel.

Ensuite tu me reparles du système mais dans mon premier post je t'ai tout fait (sauf la résolution).

:happy3:

 

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