Bonjour
Rappellons que résoudre le systéme affine :
d'inconnues
revient à résoudre l'équation matricielle
avec :
Le Système est dit de Cramer si n=p=rg(A). La matrice A est carrée et inversible est le systéme admet alors une unique solution.
dans le cas où rg(A)=n<p, A est inversible et l'ensemble S des solutions de (S) est un sous-espace affine de
de dimension p-r
dans le cas où rg(A)<n, on peut procéder par combinaisons linéaires pour se ramener au cas précédent.
Dans le cas où les seconds membres sont nuls le systéme admet une solution triviale (0,....,0) et l'ensemble des solutions est un sev de
de dimension p-rg(A) . En particulier le sy stéme admet une solution autre que celle-ci si et seulement si rg(A)<p .
- Comment faire la différence "analytiquement" entre une infinité de type "droite" et une de type "plan"? Selon le nbre de parametres dans l'ensemble des listes solutions?
Un plan est un hyperplan de
(un sous espace affine de dimension
) . Une droite est un hyperplan de
(donc un sea de dimension
)
- N'existe-t-il pas d'autres types d'"infinités"? Ex: Ne dirait-on pas d'un système dont l'ensemble des triplets solutions est R^3 qu'il s'agit d'une infinité de type "espace"? (au passage, pouvz-vs me donner un exemple de systeme dont l'nsemble des solutions est R^3?)
Un systéme dans l'ensemble des solutions est
:
Tout simplement :
Comme je l'ai dit, ton ensemble de solution peut trés bien être
ou un sea de
. Mais aprés ils n'ont plus de représentation géométrique.
- Peut-on parler d'infinité de type droite ou plan lorque le système est à plus de 3 inconnues? On est plus dans les 3 dimensions...
Oui, par exemple le systéme :
d'inconnues x,y et z dans
et de paramétre réel t admet pour solution :
qui est la droite affine de
passant par le point (1,0,-1,0) et dirigée par le vecteur (5,3,14,6) par exemple.
Jord