Matrice

[Dante0]

Bonjour,

Je cherche a résoudre AX =0
Ou A est une matrice d'ordre 3 :
4 2 -2
2 1 -1
-2 -1 1

Je trouve y = 2x, z = 0
Je ne sais pas comment conclure ...
Je précise que je cherche le ker

[Anonyme]

@Dante0

moi je trouve 2x+y-z=0

donc z=2x+y est donc l'ensemble des solutions est un E.V de dimension 2
( et il s'appelle "le noyau" de l'application linéaire associée à cette matrice (3,3) )

[Dante0]

@Dante0

moi je trouve 2x+y-z=0

donc z=2x-z est donc l'ensemble des solutions est un E.V de dimension 2
( et il s'appelle "le noyau" de l'application linéaire associée à cette matrice (3,3) )

Il y'a 2 colonnes identiques donc oui, par contre comment arrives-tu a z=2x-z ?

[Dante0]

Je rappelle qu'on chercher kerA
Pour cela il suffit d'observer la matrice et de trouver la famille de vecteurs qui engendre kerA
Comme dimkerA = 2 il faut trouver une famille de 2 vecteur de R3
Il s'agit de (0,1,1) et de (1,-2,0)
Ma question étant, comment arriver au même résultat en utilisant l'autre méthode qui consiste à trouver X tels que AX=0...
En gros ca revient a résoudre AX=0 mais on dirait que je fais un blocage sur un truc aussi simple

[Dante0]

Rah j'ai horreur de bloquer sur un truc comme ca ! :doh:

[Anonyme]

Rah j'ai horreur de bloquer sur un truc comme ca ! :doh:

Take your time and have a look :

[url]http://www.calcul.com/matrix-multiply?m_op=Multiply&m_m1=[[4,2,-2],[2,1,-1],[-2,-1,1]]&m_m2=[[x],[y],[z]][/url]

[Dante0]

Take your time and have a look :

[url]http://www.calcul.com/matrix-multiply?m_op=Multiply&m_m1=[[4,2,-2],[2,1,-1],[-2,-1,1]]&m_m2=[[x],[y],[z]][/url]

Oui voila c'est ce que j'ai fait, on a un système à résoudre :
4x+2y;)2z=0
2x+y;)z=0
2x;)y+z=0

Mais on voit direct que les lignes sont identiques...
Moi spontanément j'ai fait ca:

y = -2x+z
Donc 4x + 2(-2x+z) -2z = 0 0=0...

J'sais pas trop quoi faire après :crash:

[Dante0]

Up je trouve pas.. :/

[Nightmare]

Tu as trouvé son noyau : C'est l'ensemble des (x,y,z) tels que y=-2x+z

Ce qu'on pourrait faire, c'est en trouver une base à présent. Déjà, vois-tu quel type d'objet géométrique est ce noyau?

[Dante0]

Tu as trouvé son noyau : C'est l'ensemble des (x,y,z) tels que y=-2x+z

Ce qu'on pourrait faire, c'est en trouver une base à présent. Déjà, vois-tu quel type d'objet géométrique est ce noyau?

Mais comment pourrais-je exprimer y=-2x+z sous forme de matrice en fait ? C'est ce que je cherche à faire.
Non objet géométrique et noyau je vois pas le rapport... :/

[Anonyme]

@Dante0

Essaie de trouver 2 vecteurs colonnes (x,y,z) qui forment une famille libre et qui vérifie la "contrainte" y=-2x+z

ps)
Bien sûr il faut partir de pré-requis que le noyau d'une application linéaire est un E.V.

[Dante0]

@Dante0

Essaie de trouver 2 vecteurs colonnes (x,y,z) qui forment une famille libre et qui vérifie la "contrainte" y=-2x+z

ps)
Bien sûr il faut partir de pré-requis que le noyau d'une application linéaire est un E.V.

Comment je suis censé faire... ?
Ce que je cherches faire c'est juste exprimer ca sous forme de matrice par exemple dans le cas ou on trouve par exemple que x = y = -z on va conclure :
x(1,1,-1)

Maintenant on a y=-2x+z
Donc on peut écrire y(?,?)

[Anonyme]

@Dante0

Prends 2 vecteurs qui vérifient cette "contrainte" : par exemple (1,-2,0) et (0,1,1)

[Dante0]

@Dante0

Prends 2 vecteurs qui vérifient cette "contrainte" : par exemple (1,-2,0) et (0,1,1)

Je sais, mais comment tu les as trouvés ?
Parce que j'essaye de trouver ce résultat en cherchant X tel que AX = 0 c'est pas possible ?

[ampholyte]

Tu as ton équation y=-2x+z.
Les 2 vecteurs de ptitnoir, (1, -2, 0) et (0, 1, 1) vérifient l'équation que tu as obtenu.

[Dante0]

Tu as ton équation y=-2x+z.
Les 2 vecteurs de ptitnoir, (1, -2, 0) et (0, 1, 1) vérifient l'équation que tu as obtenu.

Ah ok mais ca saute pas aux yeux...
De toute facon dans ce cas c'est possible de trouver une base de ker en observant la matrice vu qu'elle est de rang 1 puisque les 3 colonnes sont dépendantes.

Rien a voir avec l'exercice mais l'ordre d'une matrice 3x3 est 3, si son rang est de 3 on dit qu'elle est régulière ou de plein rang, si ce n'est pas le cas elle est singulière.
Quid d'une matrice avec 2 colonnes et 3 lignes ? Quel est son ordre ?
Mettons qu'elle soit de rang 2, peut-on conclure qu'elle est de plein rang ?

[Anonyme]

Comment je suis censé faire... ?
Ce que je cherches faire c'est juste exprimer ca sous forme de matrice par exemple dans le cas ou on trouve par exemple que x = y = -z on va conclure :
x(1,1,-1)

Maintenant on a y=-2x+z
Donc on peut écrire y(?,?)

@Dante0

Voici quelques explications (qui se trouvent dans ton cours de maths)

1) le noyau d'une application linéaire associée à une matrice A (3,3) est un E.V. de dimension 0 , 1 2 ou 3

2) lorsque tu résous le système AX=0 , où X est le vecteur colonne (x ,y ,z) tu trouves des "contraintes" sur x ,y et z

3) dans le cas d'1 seule "contrainte" ( exemple y=-2x+z ) alors le noyau est un E.V de dimension 2

4) dans le cas de 2 "contraintes" ( exemple x=y et x=-z) alors le noyau est un E.V de dimension 1

5) dans le cas de 3 "contraintes" ( exemple x=0 et y=0 et z=0 ) alors le noyau est réduit au vecteur


Question :
D'après toi quelle est la matrice d'une application linéaire dont le noyau est un E.V. de dimension 3 ?

[Dante0]

@Dante0

Voici quelques explications (qui se trouvent dans ton cours de maths)

1) le noyau d'une application linéaire associée à une matrice A (3,3) est un E.V. de dimension 0 , 1 2 ou 3

2) lorsque tu résous le système AX=0 , où X est le vecteur colonne (x ,y ,z) tu trouves des "contraintes" sur x ,y et z

3) dans le cas d'1 seule "contrainte" ( exemple y=-2x+z ) alors le noyau est un E.V de dimension 2

4) dans le cas de 2 "contraintes" ( exemple x=y et x=-z) alors le noyau est un E.V de dimension 1

5) dans le cas de 3 "contraintes" ( exemple x=0 et y=0 et z=0 ) alors le noyau est réduit au vecteur


Question :
D'après toi quelle est la matrice d'une application linéaire dont le noyau est un E.V. de dimension 3 ?

Aucune idée...

[Anonyme]

@Dante0

Il faut chercher la matrice (3,3) telle que l'équation le système , où est le vecteur colonne (x ,y ,z)

a pour solution


ps)
La réponse est [I]"quasi-évidente"[/I]

[Dante0]

@Dante0

Il faut chercher la matrice (3,3) telle que l'équation le système , où est le vecteur colonne (x ,y ,z)

a pour solution


ps)
La réponse est [I]"quasi-évidente"[/I]

Tu me demandes de trouver une matrice A d'ordre 3 pour qu'on ait AX =0 avec X inconnue, donc en gros il y'a 2 inconnues ? Je sais pas du tout comment faire...
Je vois pas trop le rapport avec ce qu'on était en train de faire ^^