Simplification et inversion de matrice

[paulo07]

bonjour

j'ai deux matrice A et B que je dois multiplier puis ensuite faire l'inverse de AB
A =
2 4 3
1 3 5
0 -1 1

B =
-3 8 -16
-3 7 -12
-1 2 -3
donc mon produit me donne

AB =
-15 48 -89
-12 29 -52
4 -5 9


pour calculer le déterminant je voudrais simplifier cette matrice mais là je n'ait vraiment pas l'impression d'être très optimal (le devoir précise que je ne doit pas me servir de la propriété det(AB)= det(A)det(B) ).
je simplifie en trois étapes :
C3 = C3 + 2C2
C1 = C1 + 2C3
C2 = C2 - 5C3

Ce qui me donne AB =
-1 13 7
0 -1 6
2 0 -1


voilà je sollicite donc votre avis quand à mes calculs et à ma simplification. j'aimerais également savoir si je peux continuer à utiliser cette matrice AB simplifiée pour la suite des calculs de l'inversion ( matrice des manieurs, cofacteurs etc..) ou si je dois repartir de la matrice AB originale

je vous remercie

[Ben314]

Salut,
Bon, déjà, pour moi, l'élément "ligne 1 colonne 1" de AB, c'est
2x-3 + 4x-3 + 3x-1=-6-12-3=-21
Donc soit tu t'es gourré dans le produit, soit tu t'est gourré en recopiant A et B...

Bon, ensuite, le fait de simplifier comme tu le fait avant de calculer le déterminant est une trés bonne idée, mais, à ta place, j'aurais plutôt fait C1<-C1+4C3 (plutôt que C1<-C1+2C3) pour mettre un 0 ligne 3 colonne 1.

Pour ta dernière question, la réponse est non : Il faut que tu parte vraiment de la matrice AB pour calculer l'inverse de AB (les différentes matrices que tu as lorsque tu ajoute une ligne à une autre ont le même determinant que la matrice AB, mais, clairement, elles ne sont pas égales à AB)

[benekire2]

Salut !

Je ne pourrais pas t'apporter de réponse mais l'exo m'intéresse , je me demande pourquoi calculer le déterminant ? Tu cherche a inverser la matrice avec la formule ? Parce que le calcul de la comatrice va être pénible ... As tu essayé de ramené ta matrice AB à l'identité par des opérations élémentaires ?

EDIT. Pris en flag par ben , c'est très très mal !

[Ben314]

...je suppose que A et B sont pas inversibles sinon , on inverserait A et B et on concluerait...

Si le produit AB est inversible, alors forcément, A et B le sont (pourquoi ?)

[benekire2]

Si le produit AB est inversible, alors forcément, A et B le sont (pourquoi ?)

Merde oui , alors pourquoi tout ce "bazar" ? Doit y avoir une raison ,

Sinon pour te répondre si on suppose AB inversible d'inverse X alors ABX=I et alors A est inversible d'inverse BX on fait pareil pour B car XAB=I

C'est (évidemment) con, mais j'aurais dû plus réfléchir avant de poster :zen:

[Ben314]

Sinon pour te répondre si on suppose AB inversible d'inverse X alors ABX=I et alors A est inversible d'inverse BX on fait pareil pour B car XAB=I

Non, tu ne peut pas t'en sortir aussi simplement (si on pouvait le faire avec ce type de calculs, cela montrerait que c'est vrai dans tout anneau, y compris non commutatif, or... c'est faux en général)

Si tu note C l'inverse de AB alors tu as C(AB)=(AB)C=I. Evidement, le fait que A(BC)=I donne BC comme "candidat potentiel" pour l'inverse de A, mais tu n'arrivera pas à montrer uniquement avec du calcul formel que (BC)A=I.

Il faut soit utiliser le fait que, dans l'ensemble des matrices carrées, dés que AX=I, on est sûr que A est inversible d'inverse X et ce n'est pas utile de vérifier que XA=I, ou bien, dés le départ, dire que, si AB est inversible alors det(AB)=det(A)det(B) est non nul donc det(A) et det(B) sont non nuls.


Bon, sinon, tout ce "bazard", ben c'est pour apprendre à faire un produit matriciel et apprendre à calculer un inverse...

[benekire2]

Oui , mais c'est pas connu que si AX=I alors X est l'inverse de A (dans les matrices carrées a coef dans R ou C [je ne connais que ça]) du moins c'est un résultat que je connais, on a pas besoin des deux conditions , évidemment la preuve de cette dernière phrase est moins simple ..

Je le prouve comme ceci :
si a et b sont les endomorphismes associés a A et B alors b est injectif car BX=0 => X=IX=A(BX)=0 et donc bijectif.
Par suite , B est inversible et donc A=AI=(AB)B^-1=B^-1