ABCD est un carré de côté 2... C' est le cercle de centre D et de rayon 1.T est un point de l'arc de cercle AC distinct de A et C . La tengente au cercle C' en T coupe le segment AB en M et BC en N . L e but de l'exercice est de déterminer pour quelle(s) position(s) de T la distance MN est minimale .On pose AM = x et CN = y
1/démontrer que MN² = x²+y²-2x-2y+2 (reussi)
2/démontrer que MN= x+y puis que MN²=(x+y)²
3/déduisez en que y=(1-x)/(1+x) puis que MN = (x²+1)/(x+1)
merci beaucoup d'avance de vos réponses
Maths premiere S
7 messages
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par bernie » 09 Fév 2006, 18:11
Bonsoir,
à mon avis ton carré est de côté 1 et non 2 sinon la 1ère question ne donne pas le résulat indiqué.
2) [MA] et [MT] sont tous deux tangents au cecle et dans ce cas, on sait que :
MA=MT=x
Si tu ne connais pas ce théorème tu montres que les 2 tr. rect . DTM et DAM sont isométiques car ils ont 2 côtés égaux (DT=DA et DM commun, donc d'après Pythagore les 3èmes côtés MT et MA sont égaux).
De la même manière NT=NC=y
MN=MT+NT=x+y donc MN²=(x+y)²
3) Des 1ère et 2e question on déduit :
(x+y)²=x²+y²-2x-2y+2 (1)
Mais (x+y)²=x²+2xy+y² donc (1) devient :
x²+2xy+y²=x²+y²-2x-2y+2
soit : 2xy=-2x-2y+2 soit xy=-x-y+1
soit xy+y=1-x
soit y(x+1)=1-x soit y=(1-x)/(1+x) (2)
Comme MN=x+y, on remplace y par la valeur (2) et on trouve ce qui est indiqué.
A+
à mon avis ton carré est de côté 1 et non 2 sinon la 1ère question ne donne pas le résulat indiqué.
2) [MA] et [MT] sont tous deux tangents au cecle et dans ce cas, on sait que :
MA=MT=x
Si tu ne connais pas ce théorème tu montres que les 2 tr. rect . DTM et DAM sont isométiques car ils ont 2 côtés égaux (DT=DA et DM commun, donc d'après Pythagore les 3èmes côtés MT et MA sont égaux).
De la même manière NT=NC=y
MN=MT+NT=x+y donc MN²=(x+y)²
3) Des 1ère et 2e question on déduit :
(x+y)²=x²+y²-2x-2y+2 (1)
Mais (x+y)²=x²+2xy+y² donc (1) devient :
x²+2xy+y²=x²+y²-2x-2y+2
soit : 2xy=-2x-2y+2 soit xy=-x-y+1
soit xy+y=1-x
soit y(x+1)=1-x soit y=(1-x)/(1+x) (2)
Comme MN=x+y, on remplace y par la valeur (2) et on trouve ce qui est indiqué.
A+
par bernie » 09 Fév 2006, 18:20
Au fait je trouve que MN est minimum pour x=V2-1 (V=racine carrée). Mais c'est à vérifier!!
A+
A+
par bernie » 09 Fév 2006, 22:36
Ce n'était pas demandé ds ton énoncé , c'est pourquoi je ne l'ai pas fait.
Il faut faire le tableau de variation de la fonction qui représente la valeur de MN soit :
f(x)=(x²+1)/(x+1) ds l'intervalle [0;7]
f(x) est de la forme u/v avec :
u=x²+1 et u' =2x
v=x+1 et v'=1
Or (u/v)'=(u'v-uv')/v²
donc f '(x)=(x²+2x-1)/(x+1)²--->après calculs que tu fais.
f '(x) est du signe du numé qui est <0 entre les racines qui sont :
x1=-1-V2 et x2=-1+V2 ou x2=V2-1 (V=racine carrée)
Je suppose que tu sais calculer les racines d'un trinôme?
Tableau :
x------------>0..................V2-1...................................7
f '(x)--------->.........-.............0................+..................
f (x)---------->..décroît...........?...........croît.....................
D'où le minimum en V2-1.
A+
Il faut faire le tableau de variation de la fonction qui représente la valeur de MN soit :
f(x)=(x²+1)/(x+1) ds l'intervalle [0;7]
f(x) est de la forme u/v avec :
u=x²+1 et u' =2x
v=x+1 et v'=1
Or (u/v)'=(u'v-uv')/v²
donc f '(x)=(x²+2x-1)/(x+1)²--->après calculs que tu fais.
f '(x) est du signe du numé qui est <0 entre les racines qui sont :
x1=-1-V2 et x2=-1+V2 ou x2=V2-1 (V=racine carrée)
Je suppose que tu sais calculer les racines d'un trinôme?
Tableau :
x------------>0..................V2-1...................................7
f '(x)--------->.........-.............0................+..................
f (x)---------->..décroît...........?...........croît.....................
D'où le minimum en V2-1.
A+
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