Soient f et g les fonctions définies sur ]0;+infini[ par :
f(x) = ln(1+1/x²) et g(x) = 2/x²+1
1. Démontrer que f et g varient dans le même sens sur ]0;+infini[.
2. On souhaite étudier la position relative des courbes représentatives de f et g. Pour cela, on considère la fonction h définie sur ]0;+infini[ par h(x) = f(x)-g(x).
a. Déterminer la limite de h en 0.
b. Déterminer la limite de h en +infini.
c. Démontrer que la dérivée de h s'exprime comme l'indique le résultat obtenu à l'aide d'un logiciel de calcul formel.
(1/(1+1/x²)) - 2 - (-(1/x3)) - ((2-(-2-x))/(x²+1)²)
d. Dresser le tableau de variation de h.
e. Démontrer qu'il existe un unique réel tel que h(alpha)=0.
Vérifier que 0,5
f. En déduire le signe de h sur ]0;+infini[, puis conclure.
