DM de maths - Terminale L Spé maths

[Callie]

Bonjour,
J'ai un DM à rendre pour la rentrée et j'ai déjà fait une bonne partie des exercices, mais je bloque sur certaines questions :

- J'ai dû justifier que 3^3 est congru à 1 modulo 13, je dois en déduire le reste dans la division euclidienne de 3^1000 par 13 puis trouver le reste de A^1000 par 13

- Pour justifier une proposition, je dois démontrer que pour An= 3^n + 3^2n + 3^3n où n est un entier naturel, si n est un multiple de 3, alors An n'est pas un multiple de 13

J'ai donc besoin d'aide... merci !

[arnaud32]

3^3 = 1 [13]
et 1000= 3*333+1 donc 3^1000= (3^3)^333*3=1^333*3[13]=3[13]

[arnaud32]

tu sais que 13 etant premier Z/13Z est un corps
et donc que (Z/13Z\{0},*) est un groupe d'ordre 13-1=12
les elements de ce groupe ont donc un ordre divisant 12: 1,2,3,4,6,12
si A^n =1 [13] en notant n l'ordre de A
tu as 1000= k*n+r et A^1000=A^r [13]

pour:
n=1 1000= 1000*1 donc r=0
n=2 1000= 500*2 donc r=0
n=3 1000= 333*3 +1 donc r=1
n=4 1000= 250*4 donc r=0
n=6 1000= 166*6 +4 donc r=4
n=12 1000= 83*12 +4 donc r=4