DM de mathématiques, suites de nombres

[Rdvn]

J'ai reçu un mail de notification, pour le moment je suis occupé, je vous réponds plus tard dans la journée ou le soir

[Toto66]

Ok, pas de souci.

[Rdvn]

Bonjour
Suivez au pas à pas ce que je vous dit :

1) et 2) sont terminés (voir réponses précédentes)

3)u(n) est défini par u(n)=n(n+1)/2, c'est la définition , il n'y a rien à ajouter,
Il faut prouver u(n+1)=u(n)+n+1 (ce qui est bien la relation vérifiée aussi par les T(n) )
C'est fait puisque le calcul que je vous ai corrigé a montré u(n+1)-u(n)=n+1 ce qui a pour conséquence que u(n+1)=u(n)+n+1

4) est plus compliqué
-)Par sa construction, T(n) est la somme des entiers de 1 à n :
tout en haut du triangle: 1
ligne juste en dessous: 2
ainsi de suite jusqu'à la dernière ligne, tout en bas : n
la somme demandée S=1+...+100 est donc égale à T(100)

-)T(1) =1 et u(1)=1*2/2=1, on a bien T(1)=u(1)
et comme les suites (T(n)) et (u(n)) vérifient la même relation entre termes successifs (question 3))
il en résulte que, pour tout entier n supérieur ou égal à 1, T(n)=u(n),
De là
S=T(100)=u(100)=100*101/2=5050

[Toto66]

La 4) me semblait pourtant plus simple; mais pour ce qui est de la 1) et du début de la 4) je ne comprend toujours pas votre histoire de « triangle » n’y aurait-il pas un moyen plus simple pour la question 1? Parce que le triangle me semble assez compliqué et vague... Et donc pour la 4), le fait citer à nouveau ce « triangle » me perd un peu car je ne comprend vraiment pas de quel genre de triangle vous parlez et comment cela peut prouver tant de choses sans calculs, n’y a-t-il pas un moyen logique et avec des preuves réelles pour la 1) et la 4)?
Ensuite, pour la question 3), je suis d’accord avec vous sur ce que vous avancez, mais à moins que la question soit extrêmement mal formulée, je ne vois aucun calcul qui justifie la relation Tn+1=Tn+n+1 PAR la suite de terme général Un=(n(n+1))/2 comme le demande l’exercice...
Merci pour votre aide

[Rdvn]

Lisez votre énoncé plus attentivement :
personne ne vous demande au 3), ni au 2), de justifier la relation de T(n) PAR la suite u(n).
En fait 2) et 3) sont deux questions indépendantes.
J'ai déjà corrigé le 2), c'est terminé, la relation sur T(n) est établie sans aucune utilisation de u(n)
Au 3) on vous demande juste de montrer que u(n) vérifie la même relation de récurrence que T(n),
ce que j'ai déjà corrigé.

La question 4) fait la synthèse des questions précédentes
On remarque que T(1)=u(1)=1, puis compte tenu de ce que j'ai dit ci dessus (et dans ma réponse précédente)
on en déduit que T(n)=u(n) pour tout entier n supérieur ou égal à 1.

Reste à justifier que T(n)=1+...+n
relisez ma réponse précédente, ce n'est pas bien compliqué, observez par exemple T(3) : tout en haut 1 point,
ligne en dessous 2 points, sur la ligne la plus basse 3 points, d'où T(3)=1+2+3
de même pour T(n),n quelconque, on débute à 1 point on termine à n points


(Ou, si vous l'avez étudié, faites un raisonnement par récurrence, pour prouver T(n)=1+...+n )

Le reste est sur ma réponse précédente:
suivez le plan de travail que je vous propose

[Black Jack]

Bonjour,

L'aire hachurée est celle du seul rectangle intérieur.

En appelant L la largeur de ce rectangle et x sa longueur, on a :

Longueur de la piste = 2x + Pi*L = 400
L = (400 - 2x)/Pi

Aire hachurée : S = L*x
S = x*(400 - 2x)/Pi
S = -(2/Pi).x² + (400/Pi).x

soit la parabole d'équation : y = -(2/Pi).x² + (400/Pi).x

Son sommet est un maximum et il est situé en x = -(400/Pi)/(2 * (-2/Pi)) = 100

La longueur du rectangle est donc 100 m

La largeur du rectangle est L = (400 - 2*100)/Pi = 200/Pi (m) en valeur exacte
et L = 64 m arrondi au mètre près.

[Rdvn]

?
C'est ce que j'ai déjà corrigé (depuis longtemps) page 1 et 2, et Toto66 a compris.
Pour le moment j'essaie de le sortir de sa galère avec l' exercice sur les suites, mal structuré

[Toto66]

Bonjour,
Pour ce qui est de l’exercice mal structuré, j’ai tout repris depuis le début, j’ai fait quelques essais, et j’ai compris le fonctionnement ainsi que ce que vous m’expliquiez...
Je vous remercie énormément, j’ai donc terminé mon devoir maison.

[Toto66]

Pour prouver que Tn=1+...+n, j’ai vérifié que la propriété était vraie pour le premier terme, puis j’ai expliqué que comme on avait là une relation de récurrence, alors si la propriété était vraie pour le premier terme, elle l’était pour tout n supérieur ou égal à 1.
Est-ce suffisant?

[Rdvn]

Eh bien nous en avons terminé, presque...
Une démonstration par récurrence doit toujours être très précise, revoyez la présentation adoptée dans votre cours, mais de toutes façons il y a les étapes incontournables :
désignation de la propriété P(n) : ici P(n) est la propriété : "pour n entier supérieur ou égal à 1, T(n) est la somme des entiers de 1 à n "
-initialisation : montrer que P(1) est vraie (très facile)
-hérédité : montrer que, pour tout entier n supérieur ou égal à 1, P(n) implique P(n+1)
(en pratique on suppose P(n) vraie et on démontre que, sous cette seule hypothèse, P(n+1) est vraie elle aussi)
ici c'est du niveau de l'évidence, mais les deux étapes doivent apparaitre
Bonne fin d'exercice

[Toto66]

En ce qu’il concerne la présentation à voir dans mon cours, le problème étant que nous n’avons pas encore étudié cette « pratique » pour prouver avec une relation de récurrence; cela m’a simplement semblé logique que par récurrence si une relation marchait pour le premier terme, alors elle se poursuivait pour tout n supérieur ou égal à 1...

[Rdvn]

Bon, restez en à votre première rédaction,
genre "il est clair que, par sa définition, T(n) est égal à la somme des entiers de 1 à n "

Ce que je voulais vous dire c'est :
si on parle de démonstration par récurrence, on ne le fait pas "à moitié".

Puisque ce n'est pas encore abordé en cours , laissez tomber

Bonne rédaction finale (enfin !)

[Toto66]

C’est compris!
Merci pour votre aide qui m’a été d’une grande utilité!
Bonne journée

[Rdvn]

Ok
Fin de message
Bonne journée