DM de mathématiques nombres complexes

[zou]

Bonjour, j'ai un DM de mathématiques à rendre lundi et je bloque sur quelques questions...

Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct (O ; ~u,~v ), on considère l’application f (appelée
inversion du plan) qui à tout point M (z) distinct de l’origine associe le point M′(z′) défini par
z′ = 1/ z¯
Dans la suite, z est un complexe non nul, et on note toujours z′ l’affixe de M′ = f (M).

1. Déterminer l’ensemble des points invariants par f , i.e. l’ensemble des points M tels que M′ = M.
M'=M <=> z'=z <=> z′ = 1/ z¯ <=> 1=z.z¯ <=> 1=x²+y²
les points appartiennent au cercle trigonométrique

2. On pose z = r (cosθ +i sinθ) avec r > 0 et θ ∈ R. Déterminer la forme trigonométrique de z′.
z¯ = r(cosθ -i sinθ) donc z' = 1/r(cosθ -i sinθ)
après je fais le conjugué mais je n'arrive pas à aller jusqu'au bout (je trouve r(cosθ +i sinθ)/(rcosθ)² +(rsinθ)²

3. En déduire que OM ×OM′ = 1.
du coup je ne peut pas déduire...

4. Montrer que arg(z′) = arg(z). En déduire que O,M,M′sont alignés, avec M et M′du même côté de O.
arg(z') = arg(1/z¯ ) = -arg(z¯ ) (propriété du cours)
or arg(z¯ ) = -arg(z)
donc arg(z') = -(-arg(z)) = arg(z) (2pi)
pour la justification, est-ce qu'un cercle trigonométrique c'est bon ?


5. Image d’un cercle C de centre O et de rayon R > 0
Relire la question 2, et en déduire |z′| en fonction de |z|. Démontrer que l’image d’un cercle C de centre O et de rayon R > 0 est un cercle C′ de centre O dont on précisera le rayon.
OM =|z| et OM'= |1/z¯ | = 1/|z¯ |
or |z|=|z¯ | donc |z'|=1/|z|
C : x²+y²=r donc C' : x²+y²=1/r


6. Image d’un cercle passant par l’origine
(a) Soit Γ l’ensemble des points M (z) tels que z = 1+(cosθ +i sinθ) avec θ ∈ R.
Démontrer que M ∈ Γ si et seulement si |z −1| = 1. Caractériser Γ.
(b) Déterminer le lieu géométrique des points M (z) vérifiant |z −1| = |z|.
(c) Montrer que : |z −1| = 1 (avec z 6= 0) si et seulement si |z′ −1| = |z′|.
(d) Montrer que l’image de Γ\ {O} est une droite ∆ que l’on précisera.
je ne sais pas du tout quoi faire...


7. Soient A (zA = 1), B (zB = 2) et C (zC = 1+i).
Représenter les points A,B,C ainsi que Γ et ∆ dans un repère orthonormé (O ; ~u,~v ) d’unité 4 cm.
En utilisant les questions précédentes, construire les points B et C.
8. Retrouver les affixes des points B′et C′ par le calcul.
C'est fait !

Merci d'avance pour vos réponses !!!

[Mimosa]

Bonjour

1) OK (rédaction un peu succincte).
2) Simplifie par et rappelle toi la relation fondamentale liant les cosinus et les sinus!
3) En effet, ça vient tout seul de 2)
4) Tu peux le faire comme ça, mais les formules correctes de 2) donnent directement les arguments de et .
5) OK
6) Je ne vois pas où tu coinces! En faisant exactement ce qui est suggéré, ça marche!

[zou]

OK ! je fais et je reviens si ça ne va pas...
Merci !!!

[zou]

pour la 6a, je ne sais pas comment définir Γ

[pascal16]

|z-1| est la distance entre un point d'affixe z et un point fixe d'affixe 1+0i....

[zou]

donc Γ est le cercle avec le point A(1;0) pour origine

[Mimosa]

... et de rayon?

[zou]

1 ?

[Pseuda]

1 ?

Bonsoir,

C'est ça.

[pascal16]

tu en es où pour 6b et c ?


6d)
|z′ −1| = |z′|
c'est aussi
|z′ −(1+0i)| = |z′-(0+0i)|
c'est à dire z' est égale distance de (1,0) et (0,0), ça veut dire quoi géométriquement (l'ensemble des points à égale distance de deux point donnés) ?


démo directe :
z= 1+(cosθ +i sinθ) =( 1+cosθ ) +i sinθ
1/z = z¯ /|z|²
donc z′ = 1/ z¯ =( zbar bar)/|z|² =z /|z|² <- d'où les arguments identiques déjà vus
remplace par ( 1+cosθ ) +i sinθ, tu verras la partie réelle se simplifie. On peut affiner en vérifiant qu'on a toute la droite ou seulement une partie de la droite en regardant les limites de la partie imaginaire.

[zou]

Pour la 6b : le point z est à même distance du point (1;0) et du point (0;0). Donc l'ensemble des points est une droite d'équation X=1/2

[pascal16]

Donc l'ensemble des points est inclus dans la droite d'équation X=1/2

mais dans la question précédente tu as "si et seulement si"

Finalement l'ensemble des points est la droite d'équation X=1/2

[zou]

D'accord !
Par contre pour la c, je suis un peu largué :
Je suis partie de l'expression avec z', j'ai remplacé par 1/z-, mais je sais pas comment continuer... (le conjugué, l'égalité entre |z| et |z-|

[pascal16]

z′ = 1/ z¯ =( zbar bar)/|z|² =z /|z|²

|z|² est un nombre réel positif (non nul)

z /|z|² , est l'affixe d'un vecteur d'affixe z, qu'on rallonge ou raccourcit, mais de même argument

c'est comme dire que z et 3z ont le même argument.

[zou]

J'ai compris les calculs, mais ça me donne |z-1|=|z|

[zou]

Non c'est bon j'ai réussi.
Merci beaucoup pour l'aide !