DM math

[Ky0n]

Bonjour, je suis en 1ere S et j'ai quelque difficultés à faire un exercice, si quelqu'un pourrait m'aider ce serait genial alors voici l'énoncé :

Transmath 1ere S : n°72 p36
nb : >= signifie supérieur ou égal
=< signifie inférieur ou égal

Il s'agit de déterminer toutes les fonctions f satisfaisant la condition :
f est une fonction définie sur [ 0 ; 1 ] et à valeurs dans [ 0 ; 1 ] telle que pour tous réels x et y de
[ 0 ; 1 ] telle que pour tous réels x et y de [ 0 ; 1 ]

| f (x) - f (y) | >= | x - y |

soit 2 réels a et b tels que a =< b
a >= b
donc a = b

soit M d'abcisse x | x | = OM
| x | = | - x |

1. Vérifiez que les fonctions u et v définies sur [ 0 ; 1 ] par u(x) = x et v(x) = 1-x remplissent
cette condition.

2. Dans toute la suite, f désigne une fonction satisfaisant la condition. Prouvez qu'alors
nécessairement :

f (0) = 0 ou f(0) = 1
f (1) = 1 f(1) = 0

3. On suppose que f(0)= 0 ( donc f(1) = 1 ).
a) Démontrez que pour tout x de [ 0 ; 1 ] , f(x) >= x
b) Exploitez l'inégalité | f(x) - 1 | >= | x-1 | pour établir que pour tout x de [ 0 ; 1 ], f(x) = x.

4. Examiner le cas f(0) = 1 . On pourra par exemple s'interreser à la fonction g(x) = 1 - f(x).

5. Déduisez de cette étude que les seules fonctions qui vérifient la condition énoncée sont les
fonctions u et v.

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Voici les réponses que j'ai trouver :

f(x) appartient à [ 0 ; 1 ] et x appartient [ 0 ; 1 ]
y appartient [ 0 ; 1 ]
| f (x) - f(y) | >= | x-y |

1. u (x) = x
u (x) - u (y) = | x - y |
donc | x - y | >= | x - y |

v(x) = 1 -x
v (x) - v (y) = 1 - x - ( 1 - y )
= 1 - x - 1 + y
= - x + y

| - (x - y) | >= | x - y | car les nombres sont opposés, 2 nombres opposé ont la meme
valeur.

2. | f(0) - f (1) | = | 0 - 1 | = | -1 | = 1
f(0) et f(1) = 1 alors | 0 -1 | = 1
| f(0) - f(1) | = | 0 - 1 | = 1
donc | f(0) - f(1) >= | 0 - 1 |
f(0) = 1 et f(1) = 0
alors | 1 - 0 | = 1
| f (0) - f (1) | = | 1 - 0 | = 1

donc la soultion est satisfaisante si f(0) = 1 et f(1) = 1 ou f(0) = 1 et f(1) = 0

3. a) f(0) = 0 et f(1) = 1
on suppose que f(y) = 1 donc y = 1
| f(x) - f(y) | >= | x - y |
| f(x) - 1 | >= | x - 1 |
| f(x) | >= | x |
or x appartient [ 0 ; 1 ] et f(x) appartient [ 0 ; 1 ]
f (x) >= x
b) ou f(x) =< x donc f(x) = x


Voila ce que j'ai reussi a faire, pouvez vous y jetter un coup d'oeil pour voir si il y a des erreurs et comment faire la suit s'il vous plait ?

MERCI