DM de math sur la droite D'euler

[cassou2]

Bonjour,
Vous m'avez aider pour mon dm sur les vecteurs sur la droite d'Euleur, mais il y a des points que je n'arrive pas a faire encore. Si vous avez le temps et que ca ne vous dérange pas pouvez vous m'aider ??
B. Caractérisation vectorielle de l'orthocentre.
On considère K défini par OK=OA+OB+OC et A' le milieu de [BC]
1)Construire le point K. Quelle conjecture peur on faire sur le point K.
2)a.Démontrer que OB+OC=2OA', en déduire l'expression de AK en fonction de OA'.

b. Justifier que les droites (AK) et (OA') sont parallèles.


c. Démontrer que les droites (AK) et (BC) sont perpendiculaires

3) Pourquoi les droites (BK) et (AC) sont elles également perpendiculaires?

4)En déduire que l'orthocentre H vérifie l'égalité
OH= OA+OB+OC


C.Caractérisation vectorielle du centre de gravité*
On considère le point P défini par la relation AP=2/3AA' ou A' est le milieu de [BC]
1) Construire le point P

2a. démontrer que AB+AC=2AA' en déduire que PA+PB+PC=0(vecteur)

b. Justifier que PA+PB=2PC' ou C' est le millieu de [AB]

c.En déduire que les points P,C et C' sont alignés.

3.Déduire de ce qui précède que GA+GB+GC=0(vecteur) ouG est le centre de gravité de ABC.
[COLOR=Red]....Je ne comprend pas cette phrase je ne comprend pas ce que je dois trouver.De plus lorsque jai placé P jai vu que c'était le centre de gravité et la on me dit que c'est G
D. Démonstration de l'alignement de O,G et H

1)A l'aide des égalités obtenus sur H et G,démontrer que OH=3OG

2)Dans quelle configuration a t'on O=G=H,?

3)En dehors du cas précédent, montrer que les trois points O,G et H sont alignés sur une droite qu'on appelle la droite d'EULER du triangle ABC.

4)On suppose que ABC est rectangle en A
a. Indiquer les, positions de H et de O
b.En déduire la droite d'Euleur du triangle ABC.Je ne sais pas comment procéder
Merci d'avance :)

[siger]

Bonjour,

Reponses et commentaires dans le texte

Bonjours,
Vous m'avez aider pour mon dm sur les vecteurs sur la droite d'Euleur, mais il y a des points que je n'arrive pas a faire encore. Si vous avez le temps et que ca ne vous dérange pas pouvez vous m'aider ?? Je vous le redonne et je met les questions en rouge auxquel je ne sais pas quoi repondre.
B. Caractérisation vectorielle de l'orthocentre.
On considère K défini par OK=OA+OB+OC et A' le milieu de [BC]
1)Construire le point K. Quelle conjecture peur on faire sur le point K.
2)a.Démontrer que OB+OC=2OA', en déduire l'expression de AK en fonction de OA'.

b. Justifier que les droites (AK) et (OA') sont parallèles.
d le 2a j'ai dit que AK=OA' donc je ne sais pas quoi dire pour expliquer qu'elles sont parallèles.
AK = 2OA' est une relation vectorielle , donc les droites portant les vecteurs (AA') et (OK) sont paralleles
c. Démontrer que les droites (AK) et (BC) sont perpendiculaires
OA' est la mediatrice de BC donc OA' et AK sont perpendiculaires a BC

3) Pourquoi les droites (BK) et (AC) sont elles également perpendiculaires?
La je ne sais pas comment expliquer
même raisonnement pour OB' et BK /AC

4)En déduire que l'orthocentre H vérifie l'égalité
OH= OA+OB+OC Attention H etait appelé K dans le debut
Je ne comprend pas cette question
c'est la relation vectorielle de definition de H(ou K)
OA + OB + OC = OA + 2OA' = OA + (AH) = OH

C.Caractérisation vectorielle du centre de gravité*
On considère le point P défini par la relation AP=2/3AA' ou A' est le milieu de [BC]
1) Construire le point P

2a. démontrer que AB+AC=2AA' en déduire que PA+PB+PC=0(vecteur)

b. Justifier que PA+PB=2PC' ou C' est le millieu de [AB]

c.En déduire que les points P,C et C' sont alignés.
La Je ne sais pas non plus comment expliquer quoi dire
En reprenant PA + PB + PC = 0 on obtient 2PC' + PC = 0
la encore c'est une relation vectorielle qui dit que PC et PC4 sont paralleles
mais ils pasent par le même point P, donc ils sont confondus et les points P,C et C' sont alignes
3.Déduire de ce qui précède que GA+GB+GC=0(vecteur) ouG est le centre de gravité de ABC.
....Je ne comprend pas cette phrase je ne comprend pas ce que je dois trouver.De plus lorsque jai placé P jai vu que c'était le centre de gravité et la on me dit que c'est G
D. Démonstration de l'alignement de O,G et H

1)A l'aide des égalités obtenus sur H et G,démontrer que OH=3OG

2)Dans quelle configuration a t'on O=G=H,?
J'ai dit dit que les point étaient confondus mais c'est tout.

H est sur les hauteurs, G sur les medianes et O sur les mediatrices, il faut donc un triangle dans lequel mediane, mediatrice et hauteur sont confonduees, .......

3)En dehors du cas précédent, montrer que les trois points O,G et H sont alignés sur une droite qu'on appelle la droite d'EULER du triangle ABC.
vous mavez dit resulte de OK je ne comprend ce que je dois dire.
si on a la relation vectorielle OH = 3 OG cela signifie que H, o et G sont alignes
4)On suppose que ABC est rectangle en A
a. Indiquer les, positions de H et de O
BA est perpendiculaire a AC donc le pied de la perpendiculaire isuue de B sur AC est ...
de même poiur la perpendiculaire issue de C sur AB ,.......
le centre du cecle circonscrit dans un triangle rectangle est situé ....
b.En déduire la droite d'Euleur du triangle ABC.Je ne sais pas comment procéder
Merci d'avance

[cassou2]

Merci beaucoup pour votre aide
mais jai un problème pour le point P je le trouve au même endroit que G qui, on me dit est le centre de gravité....

[cassou2]

Je ne comprend pa non plus la question 3 sur BK et AC vous me dites OB' mais je n'ai pas de B'

[siger]

Merci beaucoup pour votre aide
mais jai un problème pour le point P je le trouve au même endroit que G qui, on me dit est le centre de gravité....

C'est effectivement bizarre comme redaction
le centre de gravité est l'"isobarycentre des sommets" c'est a dire qu'il est defini par la relation GA+ GB + GC = 0 ....
et c'est la relation de definition du point P!

je n'ai pas d'explication : P et G sont confondus

[siger]

Je ne comprend pa non plus la question 3 sur BK et AC vous me dites OB' mais je n'ai pas de B'

J'ai ete trop rapide!

Tu as montré que OA' et AH sont paralleles et que AH est perpendiculaire a BC

"3) Pourquoi les droites (BK) et (AC) sont elles également perpendiculaires?"
on raisonne de la même maniere en introduisant B' le milieu de AC et l'on montre que
BH est parallele a OB'
comme OB' est la mediatrice de AC, elle est perpendiculaire a AC donc BH est perpendiculaire a AC
( en introduisant C' mileu de AB on montrerait de lla même maniere que CH paralle a OC' est perpendiculaire a AB)

[siger]

Re

d'une maniere generale il faut savoir que si l'on a une relation VECTORIELLE telle que
[TEX]vec'{AB} = k*vec{CD} cela signifie que les vecteurs sont paralleles donc portés par des droites paralleles

[siger]

Re

d'une maniere generale il faut savoir que si l'on a une relation VECTORIELLE telle que
cela signifie que les vecteurs sont paralleles donc portés par des droites paralleles
cela signifie que les vecteurs sont portes par une même droite (AB) et que A,B et C sont alignés