Math spé LE PGCD

par **miss93** » 20 Oct 2006, 19:31

Bonjour j'ai un devoir maison à faire et il y'a queque question que je n'arrive pas,voilà l'énoncé:

Pour tout entier naturel n,supérieur ou égal à 5,on considère les nombres:
a= n^3-n²-12n et b= 2n²-7n-4
1°)Démontrez après la factorisation que a et b sont des entiers naturels divisibles par n-4.
2°)On pose a= 2n+1 et b= n+3.On note d le PGCD de a et b.
a) Trouvez une relation entre a et b indépendante de n
b) Démontrez que d est un diviseur de 5.
c) Démontrez que les nombres a et b sont multiples de 5 si et seulement si n-2est multiple de 5.
3°) Démontrez que 2n+1 et n sont premiers entre eux.
4°)a)Déterminez suivant les valeurs de n le PGCD de a et b.
b)Vérifiez les résultats obtenus dans les cas particuliers n= 11 et n= 12.

Voilà la réponse à la 1ere question que j'ai trouvé,est ce que j'ai bon???:
1°) a: n^3 -n²-12n=(n-4)(n²+3n)
b: (n-4)(2n+3)

mais la suite de l'éxercice je n'arrive pas trop.

par **prody-G** » 20 Oct 2006, 19:42

Euh je ne vois pas comment tu fais pour factoriser b par (2n+3)
puisque (n-4)(2n+3) = 2n²-5n-12
bref moi je trouve (n-4)(2n+1) :we:

par **Imod** » 20 Oct 2006, 19:43

Pour le a) , il reste un facteur "n" et pas d'accord pour le b) .

Imod

par **miss93** » 20 Oct 2006, 20:05

pour le b j'ai fait:

b= 2n² - 7n-4
2n² - 7n-4 = (n-4)(2n+1)

par **miss93** » 20 Oct 2006, 20:05

ahhh mais oui ouppps désolé je me suis trompée moi aussi j'avais trouvé (n-4)(2n+1).

par **miss93** » 20 Oct 2006, 20:16

Pourrait-on m'aider pour trouvez une relation entre a et b indépendante de n?j'ai pas très bien compris comment peut-on s'y prendre pour trouver une relation telle quelle!

par **Imod** » 20 Oct 2006, 20:20

Fais comme si tu avais un système d'équation et que tu voulais éliminer n .

Imod

par **miss93** » 20 Oct 2006, 20:22

ça mdonne donc,a=2b-5
merci!

par **Imod** » 20 Oct 2006, 20:27

De rien :we:

Imod

par **miss93** » 20 Oct 2006, 20:29

Mais j'ai un ptit problème pour démontrez que 2n+1 et n sont premiers entre eux.comment faire pour ça?c'est avec des lettres cette fois-ci!

par **Imod** » 20 Oct 2006, 20:56

Si x divise n , x divise 2n et si x divise a et b , x divise a-b , je te laisse conclure .

Imod

par **BancH** » 20 Oct 2006, 21:02

Si tu connais la congruence:

-Soit

un multiple de

, alors

, et par conséquent

Donc

et

sont premiers entre eux.

par **miss93** » 22 Oct 2006, 19:49

Pour la question 2b) est ce que il faut démontrer que a=2n+1 est divisible par 5 et que b=n+3 est divisible par 5 puis conclure que c'est divisible par 5???

par **miss93** » 22 Oct 2006, 20:17

on pourrait m'aider svp???

par **flaja** » 22 Oct 2006, 20:28

http://membres.lycos.fr/mathschallenges/terminale/bezout.htm
THEOREME DE BEZOUT
L'équation de BEZOUT ax +by = 1 admet des solutions entières si et seulement a et b sont premiers entre eux.

par **miss93** » 22 Oct 2006, 20:34

mais le théorème de bezout ne peut pas m'aider ici!ce théorème montre si a et b sont premiers entre eux,enfin il me semble!

par **flaja** » 22 Oct 2006, 21:18

3°) Démontrez que 2n+1 et n sont premiers entre eux.
si on trouve a et b dans Z tels que a*(2n+1) + b*(n) = 1 alors ...

par **flaja** » 22 Oct 2006, 21:25

Pour la question 2b) est ce que il faut démontrer que a=2n+1 est divisible par 5 et que b=n+3 est divisible par 5 puis conclure que c'est divisible par 5???

Non
on demande : d divise 5 et non 5 divise d
d divise a et b => d divise 5

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