Majorant, minorant

[alexis6]

Bonjour,

J'étudie un peu le programme de prépa: j'ai ici une petite question sur la définition du majorant, ou du minorant.

Je vous donne la définition que je connaissais, par exemple pour le majorant: pour un ensemble de nombre donné, le nombre qui est supérieur ou égal à tous ces nombres. En général cette défintion est utilisée pour l'étude de fonctions dans R.

Ici j'ai la même définition, à une différence près: le > ou < est remplacé par " une relation d'ordre ". Je me suis donc rensigné sur ce que c'était. Je crois avoir vaguement compris le truc, mais avec cette définition, on peut donc avoir un majorant qui ne soit pas supérieur ou égal à tous les éléments d'un ensemble, non? Par exemple, si on prend comme relation d'ordre la divisibilité, et {1,2} comme ensemble. 0 est bien un majorant de cet ensemble, puisque il est divisible par 1 et 2. En revanche, on a bien 0 < 1 et 0 < 2.

Et en général, en changeant la relation d'ordre, mais pas l'ensemble considéré, on se retrouve avec des majorants distincts.

Une petite explication serait bienvenue.
Merci d'avance.

[Robic]

Bonjour ! Il y a trois notions qu'il ne faut pas confondre : un majorant, un maximum, une (la) borne supérieure.

- Un majorant d'un ensemble E est un truc qui majore (au sens large - par exemple >= et non >) tous les éléments de E. Un ensemble peut admettre plusieurs majorants, voire une infinité (donc il faut éviter de dire « le » majorant).
- Un maximum de E est un élément de E qui majore tous les éléments de E. Un maximum n'existe pas toujours.
- Une borne supérieure de E est le plus petit des majorants de E. Quand un maximum existe, c'est une borne supérieure. Mais une borne supérieure n'est pas forcément élément de E.

Par exemple, si on se place dans R avec la relation d'ordre usuelle). Considérons l'intervalle ]0 ; 1[.
- 18 est un majorant de cet intervalle : il est en effet >= à tous les éléments de cet intervalle.
- Pi est un majorant de cet intervalle, idem.
- Cet intervalle n'admet pas de maximum.
- 1 est la borne supérieure de ]0 ; 1[. Ce n'est pas un maximum car 1 est hors de cet intervalle. Mais c'est le plus petit des majorants : en effet, si on imagine un majorant <1, alors il appartient à l'intervalle, donc n'est pas un majorant.

Sur R, tout ensemble majoré admet une unique borne supérieure.

Comme tu l'as remarqué, le choix de la relation d'ordre peut tout changer. En fait, lorsque tu constates que 0 est un majorant de {1, 2}, tu ne dois pas dire « pourtant 0 est inférieur » étant donné que, vis à vis de cette relation d'ordre, il est bel et bien supérieur (mais on évite de dire « supérieur » qui est alors ambigu). Ainsi, si on définit une suite d'entiers naturels croissante au sens de la divisibilité, la croissance ne sera pas démontrée en disant que Un+1 >= Un mais en disant que Un+1 est multiple de Un. Plus subtil : pour démontrer qu'une suite d'entiers naturels est constante au sens de la divisibilité, il ne faut pas montrer que Un+1 = Un mais que Un+1 est à la fois multiple et diviseur de Un (du coup je crois que Un+1 = Un, mais ce n'est pas l'argument !)

[mathelot]

[mathelot]

pour la relation d'ordre, on utilise parfois le "treillis" , appelé également "ensemble réticulé" ici

[zygomatique]

salut

prenons l'ensemble E = {1, 2, 3, 4, 6, 12, 24} et F = E/{1}

et la relation d'ordre "a < b" <=> a divise b

1 est le minimum de E
24 est le maximum de E

les éléments minimaux de F sont 2 et 3 mais F n'a pas de minimum
24 est le maximum de F

:lol3:

[alexis6]

Merci pour vos réponses ( surtout pour celle très détaillée de Robic )... C'est beaucoup plus clair maintenant.

Dans mon livre, ils disent que quand max(A) existe alors sup(A) existe et max(A) = sup(A). Bon, avec ce que vous avez dit, ce théorème n'est vrai que si on se munit de la relation d'ordre usuelle.

En effet, on a vu qu'un majorant pouvait être strictement inférieur à tous les éléments d'un ensemble, en prenant par exemple N et la divisibilité. La borne supérieur étant le plus petit des majorants, on peut pour un ensemble A avoir sup(A) qui n'est pas dans A, alors que max(A) l'est pas définition. Je me trompe?

[Robic]

En effet, on a vu qu'un majorant pouvait être strictement inférieur à tous les éléments d'un ensemble, en prenant par exemple N et la divisibilité.

Un majorant est forcément supérieur (ou égal) à tous les éléments d'un ensemble, en tout cas vis à vis de la relation d'ordre dont on parle. Ou alors tu parles de majorant au sens d'une relation d'ord(re et de « strictement inférieur » au sens d'une autre relation d'ordre, mais il ne faut pas faire ça (si on utilise deux relations d'ordre, il faut préciser à chaque fois de laquelle on parle).

La borne supérieur étant le plus petit des majorants, on peut pour un ensemble A avoir sup(A) qui n'est pas dans A, alors que max(A) l'est pas définition. Je me trompe?

Oui (c'est bien ça). Non (tu ne te trompes pas) ! :zen: