Dérivabilité, fonction bornée, majorant et minorant

[la-fee-chloette]

Problème dans mon exo de maths concernant fonctions et dérivabilité.
On a f(x) = 2x / x²+3
Dans une première question il nous est demandé de trouver le sens de variation de f. (c'est fait : décroissante sur [- l'infini, - racine de 3], croissante sur [- racine de 3 ; racine de 3] puis décroissante sur [ racine de 3 ; + l'infini] )
Et après, il faut montrer que f est bornée.. Puis dire quel est le plus petit de ses majorants et le plus grand de ses minorants. Ces deux questions ne reviennent elles pas au même ? faut il calculer les limites de f en + et - l'infini ?

Merci !

[bernie]

Bonjour,

<< veut dire < ou = et >> veut dire > ou =.

DFINITION :

Fonctions bornées
Une fonction f définie sur un ensemble D est minorée si et seulement si il existe un réel m appelé minorant tel que pour tout réel x de l'ensemble D, f(x) >> m
Une fonction f définie sur un ensemble D est majorée si et seulement si il existe un réel M appelé majorant tel que pour tout réel x de l'ensemble D, f(x)<< M
Une fonction f définie sur un ensemble D est bornée si et seulement si elle est à la fois minorée et majorée .

Tu as trouvé que limite en -inf est 0- et en +inf , c'est 0+.

f(-V3)=-V3/3 et f(V3)=V3/3

Tu vois donc d'après ton tableau de variation :

-V3/3<
A+

[la-fee-chloette]

Comment peut on calculer les limites en plus et moins l'infini pour la fonction
f(x) = 2x / (x²+3) ?

Merci

[bernie]

Limites en +inf ou -inf :

f(x)=2x/[x²(1+3/x²)]-->tu simplifies par x qui est diff de 0 au voisinage de l'infini.

f(x)=2/x(1+3/x²)

Quand x tend vers +inf alors le déno tend vers +inf donc f(x) tend vers 0 par valeurs positives (0+).

Quand x tend vers -inf alors le déno tend vers -inf donc f(x) tend vers 0 par valeurs négatives(0-).

A+

[la-fee-chloette]

Merci =) J'ai compris la chOse maintenant. Bon week end !