Bonjour,
Nous avons reçu une petite série de questions facultatives sur les majorants minorants maximum et minimum. Etant donné que c'est facultatif, mon professeur ne les reprend pas et je voudrais savoir si mes réponses sont correctes. J'ai à chaque fois indiqué ma réponse en dessous de la question :
1. "Le maximum d'un ensemble, s'il existe, est unique ? Vrai ou faux ? Si c'est faux donner un contre-exemple."
J'ai répondu FAUX, mais je n'arrive pas à trouver d'équation concrète.
2. "Tout ensemble minoré admet un minimum ? Vrai ou faux ? Si c'est faux donner un contre-exemple"
FAUX, f(x) = x^2 admet un ensemble de minorants mais pas de minimum
3. "Tout ensemble est soit majoré, soit minoré ? Vrai ou faux ? Si c'est faux donner un contre-exemple"
FAUX : Contre-exemple : La fonction tan(x)
4. "L'ensemble N des entiers naturels est-il majoré ? Minoré ? Borné ? Admet-il un minimum/maximum, et si oui lequel ?"
L'ensemble N des natuers est borné inférieurement mais pas majoré. Minimum = 0
5. "L'ensemble Z des entiers relatifs est-il majoré ? Minoré ? Borné ? Admet-il un minimum/maximum, et si oui lequel ?"
Z n'est ni majoré, ni minoré, il n'admet pas de minimum, ni de maximum
6. "L'ensemble Q+ des nombres rationnels positifs ou nuls est-il majoré ? Minoré ? Borné ? Admet-il un minimum/maximum, et si oui lequel ?"
Q+ est minoré mais pas majoré. Min = 0 et Max = Existe pas
7. "L'ensemble ]0:1] est-il majoré ? Minoré ? Borné ? Admet-il un minimum/maximum ? Si oui lequel ?"
L'ensemble est borné. Le minimum n'existe pas, le maximum = 1
8. "Considérons l'ensemble S = 1/n : n appartient à N/(0) Est-il majoré, minoré, borné ? Admet-il un maximum et/ou un minimum ? Si oui lequel/lesquels ?
S est borné. Le minimum n'existe pas, le maximum = 1
9. "Toute partie R admettant un maximum est majoré ? Vrai ou faux ? Si c'est vrai donner une courte preuve, si c'est faux un contre-exemple."
Vrai, pour qu'un maximum existe il faut un ensemble de majorant. Donc s'il y a un maximum, c'est certain qu'il y a des majorants.
10. "Toute partie minorée de R admet un minimum ? Vrai ou faux ? Si c'est faux donner un contre-exemple ?"
Je n'ai pas trouvé ..
Voila voila si vous pouviez m'aider, ce serait super sympa.
Merci d'avance