Logique

[bennani_said]

bonsoir tout le monde veuillez m'aider dans cette exercice :
Soient a et b deux éléments de IR tels que’ (quelque soit x appartient à l'ensemble R)(a < x implique b < x)
montrer que b inferieur ou egal a .
et merci

[samoufar]

Bonsoir,

Raisonner par l'absurde permet de résoudre le problème

[bennani_said]

j'ai essayé mais rien

[beagle]

Tu peux faire les deux cas:
1)b plus petit ou égal à a
2)b plus grand que a

Quand b plus grand que a, alors il existe entre a et b des x de IR qui seront plus grands que a mais plus petits que b, donc on n'aura pas du pour tout x tel que x plus grand que a alors il est plus grand que b

Reste à voir si cela marche avec le 1)

[samoufar]

Par l'absurde, tu peux supposer que , et regarder ce que ta proposition de départ donne pour ...

Tu peux aussi raisonner par contraposée, ce qui en définitive revient au même. Suppose que .
Le but est alors de montrer l'existence d'un réel tel que ...

[zygomatique]

salut

on sait que : est vraie et on veut montrer que

notons P(x) la proposition a < x => b < x


donc P(x) est vraie pour tout x donc pour certain x et en particulier pour x = b

donc P(b) est vraie

or P(b) est la proposition : a < b => b < b

or b < b est faux et le seul cas où l'implication P => Q est vraie avec Q fausse est quand P est fausse

donc a < b est fausse

donc est vraie

[beagle]

On démontre que b ne peut pas ètre supérieur strict à a.
Maintenant reste à démontrer que b ne peut pas ètre inférieur ou égal à a , alors on aura démontré qu'il n'existe pas a et b tels que définis QS.
Ou bien démontrons que b ne peut ètre inférieur strictement à a, on sera sur le chemin de montrer que quand aet b sont définis tels que QS , alors a= b.
Ou bien montrons que b=a/2 etc ...

Vrai ou faux?

[zygomatique]

QS ?

[beagle]

Bon alors on a deux réels a et b définis tels que Patati.
En général si je démontre a inf b impossible , je n'ai pas démontré autre chose que a inf b impossible
cela ne dit en rien que b inf a.

Donc dans le raisonnement fait, c'est quoi, c'est où, c'est grace à quoi que de a inf b faux on obtient b inf a vrai?

[beagle]

salut beagle, ptète que parce qu'une condition nécessaire mais pas suffisante est vraie,
et c'est juste cela qui était demandé dans cet énoncé.

[zygomatique]

what is QS ??

dans R si on prend deux réels a et b alors il n'y a que deux cas : a =< b ou a > b

donc si on n'a pas a > b alors on a a =< b ...

[beagle]

what is QS ??

dans R si on prend deux réels a et b alors il n'y a que deux cas : a =< b ou a > b

donc si on n'a pas a > b alors on a a =< b ...

oui ça c'est vrai, mais si pas a inf b qui est faux, on a en condition nécessaire b inf a,
mais pas en condition suffisante, non?
Il ya peut-être pas de b qui vérifie la condition nécessaire, ou un seul b tel que a/2, etc...

[zygomatique]

je ne comprends pas ... mon raisonnement est valide !!!

et je répète encore une fois : que signifie QS ?

[beagle]

je ne comprends pas ... mon raisonnement est valide !!!

et je répète encore une fois : que signifie QS ?

il doit l'ètre, mais ya un truc que je ne comprends pas bien.
QS ou patati est une condition quelconque qui relie a et b, peu importe.

Tel que je le perçois le raisonnement par l'absurde dit si a inf b , bon cela ne marche pas,
donc b inf a ce qui était à démontrer donc OK sur cela.

Maintenant ton raisonnement est-il une condition nécessaire et suffisante sur b inf a
bref tous les b inf à un a donnés marchent-ils? Et c'est quel élément du raisonnement qui permet d'affirmer cela?C'est sur cela que j'ai du mal.

[zygomatique]

bon prenons un exemple en fixant a = 2 par exemple ...

tout réel x vérifie a < x => b < x

ben il semble bien que b = -3, b = 1, b = 2 et en fait tout réel b =< a convient ....

mon raisonnement est basée sur la table de vérité de l'implication en logique binaire : il n'y a que deux éventualités contradictoires (on ne peut avoir P et non P simultanément vraies)

[chan79]

Salut à tous
J'aurais rédigé ce truc comme ça.
Avec les hypothèses données, on veut montrer que b<=a
Supposons que ce ne soit pas vrai , c'est-à-dire supposons que b>a
Soit x= (a+b)/2
on a x>a et x<b
ce qui contredit les hypothèses

[beagle]

la question était:"montrer que b inferieur ou égal a"

les démonstrations sont ok, le boulot est fait.C'est ce qui était demandé.

Sauf que c'est une chose de dire b est inf a
quand cela peu regrouper quantité de solutions situations différentes:
-tous les b inf à un a donné (c'est notre cas ici)
-aucun couple a et b n'existe car oui bien sur b doit ètre inf à a, mais par exemple il doit par ailleurs aussi tel que sup à a (dans un autre problème autre énoncé)
-il existe un seul couple qui est b= a/2
-...and so on
dans toutes ces situations je peux très bien avoir démontré par un procédé quelconque que b inf a,
mais cela ne dit rien de précis.
On se retrouve avec une condition nécessaire mais non suffisante.

Donc je me pose la question de la compréhension de ce qu'il écrit ,d'un élève du lycée qui bosse la logique, fait cet exo de cette façon ...

[zygomatique]

bien sur un raisonnement par l'absurde convient ... et déjà proposé par samoufar ...

j'ai voulu montrer un raisonnement (qui malheureusement s'applique difficilement au lycée) basé sur la valeur de vérité d'une implication donc de la logique pure ...

[beagle]

mais c'est idem l'absurde, l'absurde dit cela n'est pas sup,
donc oui c'est inf
donc oui on répond à la question.

mais cela regroupe quoi derrière?Vous ètes sur que le lycéen comprend qu'il n'a pas démontré que tous les b inf à a marchent?

[zygomatique]

je ne comprends rien à ce que beagle dit ...

il est évident que si b =< a et a < x alors b < x et cela est vrai pour tout réel b =< a ... et tout x > a...

le pb est de montrer la réciproque : pour tout réel x (tel que) ::: a < x => b < x est vraie => b =< a ....