Limites exponentielle

[Rvan]

Bonjour a tous
Voila j ai un petit problème pour une de mes questions :

On considére la fonction f définie sur l intervalle ]0 ; +infinie [ par :
f (x) = x / (e^x -1)

On me dit alors que la fonction exponentielle est l unique fonction derivable sur R vérifiant g'(x)=g(x)
g(0)=1
On doit démontrer que

lim (e^h -1 )/h = 1 quand h tend vers 0 = 1

Pour démontrer, j utilise le taux d accroissement de la fonction exponentielle et je retrouve le résultat demandé.

On demande ensuite la limite de la fonction f en 0.
J utilise le fait que f(x) = 1 / g(x)
et donc f (x) tend vers 1

Voila maintenant the problème, on me demande la limite de la fonction f en + l infini.

Je pense qu ' il faut utiliser la lim (e^h -1 )/h quand h tend vers + infini; qui serait alors + infini
et donc lim f(x) = 1 / g(x) = 0.
Si vous pouvez me donner un petit coup de pouce s'il vous plait... :doh:

[Sve@r]

On considére la fonction f définie sur l intervalle ]0 ; +infinie [ par :
f (x) = x / (e^x -1)
Voila maintenant the problème, on me demande la limite de la fonction f en + l infini.

Je pense qu ' il faut utiliser la lim (e^h -1 )/h quand h tend vers + infini; qui serait alors + infini
et donc lim f(x) = 1 / g(x) = 0.
Si vous pouvez me donner un petit coup de pouce s'il vous plait... :doh:

Ben voilà. Tu t'en es sorti tout seul. :++:

[Rvan]

Mais comment prouver que lim (e^h -1 )/h quand h tend vers + infini est egal a + infini?
En tous cas merci de m aider.

[Mathusalem]

Mais comment prouver que lim (e^h -1 )/h quand h tend vers + infini est egal a + infini?
En tous cas merci de m aider.

Tu obtiens une expression du type [Infini/Infini] ce qui est indéterminé. Pour lever l'indétermination tu peux utiliser Bernoulli.
Dérive le numérateur et le dénominateur, et réapplique la limite à cette nouvelle expression.
Tu auras [tex] \frac{e^h}{1} [tex] , dont la limite en h ->;) est égal à l'infini.

Sinon, tu peux aussi considérer le fait que exp(x) croit beaucoup plus vite que x... C'est donc le terme dominant et donc la limite quand x -> infini de exp(x) / x est bien =

Mais c'est préférable d'appliquer Bernoulli, les profs de math n'aimant pas forcément les gens malins

A+