Signe et limites d'une fonction exponentielle

[brindy]

Bonjour,

Il y a quelques questions de mon devoir maison que j'ai du mal a résoudre.

On considère la fonction f définie sur R par :

f(x) = -xe^(2x+1)

a) Quel est, suivant les valeurs de x, le signe de f(x) ?
b) Déterminer les limites de la fonction f en +oo et en -oo

Ce que je trouve :

a) f(x) = -xe^(2x+1)

e^(2x+1) > 0 pour tout x appartenant à R

donc le signe de f(x) est celui de -x

________________________________________________
x | -oo------------------- 0 --------------------+oo
________________________________________________
f(x) | ---------- + ------- 0 ------- -
_______________________________________________

Est-ce correct?

b)

lim -x = -oo
x --> +oo

lim 2x+1 = +oo
x --> +oo

lim e^X = +oo-----------------Donc par composée lim e^(2x+1) = +oo
X--> +oo -------------------------------------------x --> +oo

Par produit de limites on a :

lim f(x) = -oo
x --> +oo

Mais pour la limite en -oo, je trouve une forme indéterminée du type +oo.0

lim -x = +00
x--> -00

lim 2x+1 = -oo
x --> -oo

lim e^X = 0-----------------Donc par composée lim e^(2x+1) = 0
X--> -oo -------------------------------------------x --> -oo

Par produit de limite on a :

lim f(x) = FI
x--> -oo

Après avoir essayé plusieurs fois de "modifier" la fonction, je retombe sur une FI..
Pouvez vous m'aider s'il vous plaît?

[Ana_M]

Bah c'est une limite connue, c'est l'exponentielle qui l'emporte !

[brindy]

C'est à dire que :

lim -x = +00
x--> -00

lim 2x+1 = -oo
x --> -oo

lim e^X = 0-----------------Donc par composée lim e^(2x+1) = 0
X--> -oo -------------------------------------------x --> -oo

Par produit de limite on a :

lim f(x) = 0
x--> -oo

et est-ce correct ce que j'ai fait pour le a) ?

[Ana_M]

Oui mais ce n'est pas "par produit de limite", c'est plutôt par rapport à la convergence plus rapide de l'exponentielle devant n'importe quelle puissance de x !

[brindy]

Merci beaucoup,

et est-ce que pour le a) c'est correct?

[Ana_M]

Parfait !!!!

[maths0]

Attention:
Par croissance comparée:
Par produit:
Finalement:

[brindy]

Merci d'avoir répondu

En faite, nous n'avons pas encore étudié la croissance comparée.

pour la c) Calculer la dérivée de f(x)

Je trouve :

f est dérivable sur R, on a donc :

f(x) est de la forme uv d'où f'(x) = u'v+uv'

u= -x ------------------------ v= e^(2x+1)
u'= -1-------------------------v' = 2e^(2x+1)

f'(x) = -e^(2x+1) -2xe^(2x+1)
----= e^(2x+1) ( -1 -2x)

[maths0]

Et pour la limite quand x tend vers - l'infini ?

[maths0]

En rappelant que les 4 formes indéterminées sont: ; ; ; .
La dérivée est exacte: .

[brindy]

Pour la limite en -oo j'ai appliqué la composée.

En faite on a pas encore vu la croissance comparée, ni dans le cours, ni dans aucun exercice pour l'instant, je ne sais pas ce que c'est.

[maths0]

Et alors peu importe tu as par produit "" ça ne vaut pas 0 !

[brindy]

> c'est une forme indéterminée.

Mais Ana_M a dit

"Oui mais ce n'est pas "par produit de limite", c'est plutôt par rapport à la convergence plus rapide de l'exponentielle devant n'importe quelle puissance de x !"

Ce qu'il faut comprendre c'est que c'est l'exp qui "l'emporte" sur les polynômes... ?

Mais comme je n'ai pas encore étudié la croissance comparée, je ne peux pas l'utiliser..
Y'a-t-il un autre moyen pour lever la FI ?

[maths0]

Il n'y a pas d'autres moyens, il faut l'utilisée.
Ce qui est expliqué ci-dessus est la croissance comparée abrégée et remaniée en français !
il faut passer par la croissance comparée qui dit que:
Pour toute fonction définit sur R tel que pour tout X réel on ai:
Alors: par croissance comparée.

[maths0]

Par croissance comparée:
Par produit:
Finalement:

[brindy]

Merci beaucoup pour votre aide!

Je pense avoir compris! :)

[maths0]

Très bien !

[Ana_M]

Personnellement je n'ai jamais utilisé ce terme "croissance comparée" dans aucun de mes cours !