Limites, etudes de fonction

[Papimaluno]

Bonjour,

Voila j'ai un exo a faire et je bloque un peu :

jai cette fonction : f(x) = V(x²+1) - x

determiner sa limite en - infini

je dirais :[FONT=Georgia] Lim V(x²+1) - x = + infini
[/FONT]

Mais est ce qu'on peut trouver sa limite en + infini directement ou bien faut-il transformer l'ecriture ? si oui, je bloque ...

et un autre question : il faut montrer que pour tout x >= 0, f(x) > 0

merci :we:

[Monsieur23]

Bonjour.

Pour la limite en +infini :


Multiplie en haut et en bas par

[SimonB]

... et pour l'autre question :

et un autre question : il faut montrer que pour tout x >= 0, f(x) > 0

si , alors .

Peux-tu modifier le deuxième terme dans ta différence pour utiliser cette propriété ?

[Papimaluno]

ok j'ai trouvé pour la limite en + infini merci

mais j'avoue que j'ai du mal a comprendre cela : x>= 0, f(x) > 0

je ne sais pas comment le montrer, si il faut faire un calcul ou autre ...

merci

[SimonB]

je ne sais pas comment le montrer, si il faut faire un calcul ou autre ...

As-tu essayé mon indication ?

[Papimaluno]

et bien oui je comprend votre procédé, il faut que je modifie le -x ?

[SimonB]

Oui, de quel nombre x est-il la racine ?

[Papimaluno]

de quel nombre ? heu ....

j'ai du mal a saisir, x est racine de x ?

désolée de ne pas comprendre ou vous voulez en venir :marteau:

[Papimaluno]

bon ce n'est pas grave je vais passer cette question

je voudrais que vous m'aidiez pour cette question

Demontrer que la fonction f est strictement decroissante sur R

ensuite j'ai fais le tableau de variation

x - inf .............................+ inf

f(x) + inf ............................... 0

avec une courbe decroissante, c'est bien cela ?

donc en fait comment prouver quelle est decroissante a part le tableau, je ne vois pas

[SimonB]

j'ai du mal a saisir, x est racine de x ?

Je te parle de racine carrée... Es-tu vraiment sûr que pour tout x ?
Je répète ma question : si x est un nombre positif, de quel nombre est-il la racine carrée ?

Demontrer que la fonction f est strictement decroissante sur R

Une (bonne) idée serait d'étudier sa dérivée...

[Papimaluno]

effectivement x n'est pas egal a Vx

si x est positif alors il est la racine carré de tous les nombres positifs ?

----------------------------

dérivée... j'essai de la faire et je met ca ici

[Papimaluno]

la dérivée

f'(x) = (1/(2V(x²+1)) -1

c'est ca ?

[SimonB]

si x est positif alors il est la racine carré de tous les nombres positifs ?

?!!?
Non...

Prenons un exemple... Disons 2. De quel nombre 2 est-il la racine carrée ?

la dérivée

f'(x) = (1/(2V(x²+1)) -1

C'est ça. Il suffit maintenant de montrer que cette expression est négative pour tout x.

[Papimaluno]

2 est la racine carré de 1.41


mais je repense a la dérivée, j'ai recalculé et j'ai trouvé ca

(x-Vx²+1) / ( Vx²+1) c'est ca plutot non ?

[SimonB]

2 est la racine carré de 1.41

Non. Est-ce que tu as lu le problème que je te demandais ? Je ne te demandais pas la valeur de la racine carrée de 2 (d'autant que ce que tu nous donnes est une valeur approchée), mais de quel nombre 2 était il la racine carrée. En d'autres termes, quel est le nombre N tel que ?

mais je repense a la dérivée, j'ai recalculé et j'ai trouvé ca

(x-Vx²+1) / ( Vx²+1) c'est ca plutot non ?

Oui, en fait, désolé, je m'étais trompé dans le premier calcul. Voilà, il ne reste plus qu'à montrer que ceci est négatif.

[Papimaluno]

Oui c'est ok pour la dérivée et la demonstration de de la fonction f qui est strictement decroissante sur R

le nombre N est 4
donc pour x c'est x² ?

[SimonB]

le nombre N est 4
donc pour x c'est x² ?

Oui. C'est ce que je voulais te faire dire : si x est un réel positif, .

Bien. Maintenant, tu peux comparer et et en déduire la positivité de la fonction.

[Papimaluno]

et bien, je dirais pour commencer x² < x²+1

[SimonB]

et bien, je dirais pour commencer x² < x²+1

Oui. Que peux donc tu dire sur leurs racines ?

[Papimaluno]

leurs racines sont positives !