Lieu de points : lignes de niveau

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lioubliana
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Lieu de points : lignes de niveau

par lioubliana » 13 Fév 2008, 16:08

Bonjour...
J'ai un exercice de maths à faire mais je ne sais même pas par ou commencer pourriez vous m'aider svp :triste:



Sur une carte topographique, une ligne de niveau est une courbe reliant les points de même altitude.
Si on note g(M) l’altitude du point M , la ligne de niveau k est donc l’ensemble des points M tels que g(M) = k.
Par analogie, si on considère une application f qui a tout point M du plan, associe un nombre f (M) , et si k est un réel, on appelle ligne de niveau k de l’application f l’ensemble des points M du plan, tels que f (M) = k . Soit par exemple, l’expression f(M) = MA² + MB² ou A et B sont des points fixés et M un point quelconque du plan.
La ligne de niveau 12 de l’application f est l’ensemble des points M, tels que
MA² + MB² = 12 .
Dans ce problème, on s’intéresse à quelques lignes de niveau courantes.
Dans toute la suite, les points A et B sont fixés, avec AB = 6 ; I est le milieu de [AB] et k un nombre réel.

1° Quelques exemples élémentaires
On considère les trois applications :

u: M -> AM, v: M -> MA.MB (vecteurs) et w : M -> MA/MB

Donnez la ligne de niveau 4 de u, la ligne de niveau 0 de v et la ligne de niveau 1 de w.



Merci d'avance...



La Boule
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par La Boule » 13 Fév 2008, 16:43

u(M)=AM si k = 4 alors on a l'expression de la ligne de niveau 4 :

AM = 4 ce qui corespond au Cercle de centre A et de rayon 4

v(M)= MA.MB ( vecteur )= 0 on a donc un produit scalaire.
or un produit scalaire est nul si .... a toi de conclure et de faire le suivant.

lioubliana
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par lioubliana » 13 Fév 2008, 16:54

un produit scalaire est nul si les vecteurs sont orthogonaux mais je ne comprend pas ce que veut dire avec la ligne de niveau...

La Boule
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par La Boule » 13 Fév 2008, 17:08

lioubliana a écrit:un produit scalaire est nul si les vecteurs sont orthogonaux mais je ne comprend pas ce que veut dire avec la ligne de niveau...


Dis toi que la ligne de niveau c'est quelque chose qui existe mais la compréhension du terme en lui même n'est pas fondamental a la résolution de l'exercice. Retiens juste que la ligne ne niveau dans ton exercice c'est un lieu de point qui réponds a une transformation du plan appliquée a n'importe quel point du plan M ( par exemple f(M), U(M) etc ) et que ces lignes de niveaux peuvent avoir plusieurs .... niveaux qui correspondent a un reel k auxquelles elles sont égales.

Si f(M)=1 alors k=1 la ligne de niveau est de niveau 1 etc. ^les transformations du plan peuvent-être quelconques par exemple U(M) = AM.

J'espère avoir pu t'eclairer, j'ai un peu de mal a expliquer les choses, peut être qu'un peu d'aide serait la bien venue.

lioubliana
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par lioubliana » 13 Fév 2008, 17:14

d'accord... mais lorsqu'on dit v(M)= MA.MB on c que la ligne de niveau donc k=0 donc les vecteurs sont orthogonaux, ils font un angle de 90 ect... Mais je ne vois pas ce que je dois répondre en fait

La Boule
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par La Boule » 13 Fév 2008, 17:38

lioubliana a écrit:d'accord... mais lorsqu'on dit v(M)= MA.MB on c que la ligne de niveau donc k=0 donc les vecteurs sont orthogonaux, ils font un angle de 90 ect... Mais je ne vois pas ce que je dois répondre en fait


Je pense mais je ne suis absolument pas sur que les droites (MA) et (MB) doivent être perpendiculaires.

lioubliana
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par lioubliana » 13 Fév 2008, 17:42

d'accord je cherchais plus compliqué c pr ca ^^ .
sinon je ne sais pas comment déterminer MA et MB quand w(M)=MA/MB pour une ligne de niveau 1. AB=6 ; k=1 mais comment trouver M?

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par La Boule » 13 Fév 2008, 17:52

lioubliana a écrit:d'accord je cherchais plus compliqué c pr ca ^^ .
sinon je ne sais pas comment déterminer MA et MB quand w(M)=MA/MB pour une ligne de niveau 1. AB=6 ; k=1 mais comment trouver M?


Pour la dernière tu as MA/MB = 1
donc MA = MB
M doit être située sur la médiatrice de [AB] c'est a dire la droite perpendiculaire a [AB] passant par I milieu de [AB]

lioubliana
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par lioubliana » 13 Fév 2008, 18:06

pouvez vous m'expliquer le théorème de la mèdiane...? car je bloque encore...

--> f (M) = MA² + MB²
En utilisant le théorème de la médiane, montrer l'équivalence :
f(M)= k <=> IM² = (k/2)-9
En discutant suivant les valeurs de k, donner alors la ligne de niveau k de l'application f. :briques:

Dr Neurone
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par Dr Neurone » 13 Fév 2008, 18:43

Re-Bonjour , tu as des soucis ?

lioubliana
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par lioubliana » 13 Fév 2008, 18:48

oui...j'ai un exercice de maths a faire et pr tt dire je n'y comprenp rien... J'ai deja fait la question un grace a l'aide de certains mais je sais pas quoi faire pour continuer...mon énoncé est tt en haut de cette conversation, la question que j'aimerais qu'on m'explique est juste au dessus

merci d'avance pr ton aide

Dr Neurone
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par Dr Neurone » 13 Fév 2008, 18:53

Re-bonjour,que puis-je pour toi ?

Dr Neurone
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par Dr Neurone » 13 Fév 2008, 18:56

Bien.
f(M) = MA² + MB²
Insère I entre M et A et entre M et B.
f(M) = (MI + IA)² etc..
Puis effectue entre les parenthèses.

lioubliana
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par lioubliana » 13 Fév 2008, 19:01

je trouve f(M)=2MI² + IA² + IB²...?

Dr Neurone
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par Dr Neurone » 13 Fév 2008, 19:02

Très bien .
Or IA = IB = AB/2 donc...

lioubliana
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par lioubliana » 13 Fév 2008, 19:11

f ( M) = AB² ?

Dr Neurone
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par Dr Neurone » 13 Fév 2008, 19:14

Tiens tiens ?
Non ! tu avais fait le plus dur !
IA² + IB² = 2(AB/2)² = AB²/2
donc f(M) = ...

lioubliana
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par lioubliana » 13 Fév 2008, 19:21

je trouve juste AB²*1/2 :S

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par Dr Neurone » 13 Fév 2008, 19:23

Donc f(M) = ... avec AB = 6

lioubliana
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par lioubliana » 13 Fév 2008, 19:25

donc f (M) = 2MI² + AB²*1/2

 

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