Les complexes

[Crazy]

Bonjour , j'ai un exercice sur les complexes à faire. Je suis coincée pour la fin alors peut-être auriez-vous le temps de m'expliquer ... . Je vous en remercie


A tout nombre complexe non nul z , on associe Z= z+ (4/z)

a) Determiner l'ensemble des complexes z tels que Z= 5

J'ai fait z²-5z+4=0 et je trouve x1= (5+(3i)²)/2 et x2= (5-(3i)²)/2

b) Determiner l'ensemble des complexes z tels que Z=2

J'ai fait z²-2z+4=0 et je trouve x1= 1-(V(3)i)² et x2 = 1+(v(3)i)²

c) Determiner l'ensemble des complexes z tels que z.z(barre)=4 , montrer alors que Z est réel.

Ce que j'ai fait : avec z=x+iy on a (x+iy)(x-iy)=4
x²+y²=4
puis après je ne sais pas comment faire ... peut-être que j'ai déjà mal commencé ...

d) Determiner l'ensemble des complexes z tels que Z soit réel ; représenter les solutions.

Alors ça me parait extremement faux ce que j'ai fait mais bon..
avec z=x+iy [(x+iy)²+4] / (x+iy) = (x²+2xiy-y²+4)/(x+iy)
= [(x²+2xiy-y²+4)(x-iy)] / (x²+y²) = (x^3+x²iy+xy²+iy^3+4x )/(x²+y²)
donc pour que Z soit réel on a : (x²y+y^3)/(x²+y²)=0 donc y=0

Vous en pensez quoi? merci d'avance

[rene38]

Bonjour

a) Determiner l'ensemble des complexes z tels que Z= 5

J'ai fait z²-5z+4=0 et je trouve x1= (5+(3i)²)/2 et x2= (5-(3i)²)/2

b) Determiner l'ensemble des complexes z tels que Z=2

J'ai fait z²-2z+4=0 et je trouve x1= 1-(V(3)i)² et x2 = 1+(v(3)i)²

je ne comprends pas comment tu trouves ces résultats.
D'autre part, n'oublie pas que i²=-1 et

c) Determiner l'ensemble des complexes z tels que z.z(barre)=4 ,

Ce que j'ai fait : avec z=x+iy on a (x+iy)(x-iy)=4
x²+y²=4
puis après je ne sais pas comment faire ... peut-être que j'ai déjà mal commencé ...

C'est ça, que tu peux traduire en terme de module de z ou/et de lieu de l'image de z.

montrer alors que Z est réel.

Ecris Z et, en utilisant le fait que , multiplie le 2 termes de 4/z par

[Crazy]

Pour répondre aux questions a) et b) j'ai :
- mis sur le mm denominateur à gauche :
z²/z + 4/z = 5
= (z²+4)/z =5
= z²+4=5z
= z²+4-5z=0
C'est une fonction polynôme donc je calcul delta et x1 et x2


c'est pas ça qu'il fallait faire ? et pr le c) il ne faut pas calculer x et y ? je comprends pas ...

[Crazy]

en fait je me suis trompée pour la a) et la b)
pour la a) ca donne : (z-1)(z-4)=0 donc x1=1 et x2=4 et pour la b) ya un ² en trop je trouve donc 1-V3 et son conjugué 1+V3 .

[rene38]

en fait je me suis trompée pour la a) et la b)
pour la a) ca donne : (z-1)(z-4)=0 donc x1=1 et x2=4 et pour la b) ya un ² en trop je trouve donc 1-V3 et son conjugué 1+V3 .

Pour le b), moi je trouve comme solutions 1+iV3 et 1-iV3

[Crazy]

oui c'est ca ... j'ai oublié le i . comme on dit : vite fait mal fait . Vous avez compris comment faire pour le c) ? je suis sur la bonne voie en faisant ce que j'ai fait ?

[rene38]

Relis mon message de 12h35.

[Crazy]

justement ... je n'ai pas trop compris . Ce que j'ai fais c'est juste ?

[rene38]

c) Determiner l'ensemble des complexes z tels que z.z(barre)=4 , montrer alors que Z est réel.

Ce que j'ai fait : avec z=x+iy on a (x+iy)(x-iy)=4
x²+y²=4

x²+y², il me semble que c'est le carré du module de z, non ?
donc, puisque le module est un réel positif, x²+y²=4 signifie |z|=2
L'ensemble des complexes z tels que est l'ensemble des complexes de module 2.
L'image de cet ensemble est le cercle de centre O et de rayon 2.

On a alors, en tenant compte de et en réduisant au même dénominateur,

[Crazy]

Merciiiiiiiiiii!!!et pour le d) c'est le cercle de centre O et de rayon 2 ET l'axe des réels ?

[rene38]

Tout à fait, Crazy ; il serait cependant préférable de l'exprimer par :

L'ensemble des complexes z tels que Z soit réel est la réunion du cercle de centre O et de rayon 2 et de l'axe des réels.

[Crazy]

D'accord mais vous pensez qu'il faut que je le démontre avec des calculs ou il suffit de le déduire de la question c) ?

[rene38]

il suffit de le déduire de la question c) ?

Certainement pas :

c)

d)

[Crazy]

d'accord . C'est bon j'ai trouvé la demonstration par calcul . Merci pour tout! bonne soirée