Intersection d'une hyperboloïde à une nappe avec un plan

[Patrickkk]

Bonjour
J'ai une surface d'équation z²+4y=x²+y²
Je dois trouver les valeurs de k tel que l'intersection de la surface S et du plan d'équation y=k soit deux droites sécantes.
Je pense que c'est 0 et 4 mais je ne vois pas du tout comment trouver ces valeurs.
Merci d'avance pour vos réponses.

[Ericovitchi]

Oui, l'intersection du plan y=k et z²+4y=x²+y² s'écrit
z²-x²=k²-4k

Etant donné que ça s'écrit (z-x)(z+x) = k²-4k on voit bien que pour que ça devienne les 2 droites z-x=0 et z+x=0 il faut
que k²-4k=0 d'où k=0 ou 4

[Patrickkk]

Salut et merci d'avoir répondu,
Oui, mais est ce que cela suffit comme justification?
Comment sais t'on que ce n'est pas des droites différentes des 2 droites z-x=0 et z+x=0?

[Sa Majesté]

Si k est différent de 0 et de 4 alors z²-x²=C avec C différent de 0 donc c'est une hyperbole

http://fr.wikipedia.org/wiki/Conique#D.C3.A9finition_analytique
(voir le cas où A et C sont de signes opposés)

[Patrickkk]

Oui, en effet.
En tout cas, merci pour votre aide.