Intégration TS

[guigui51250]

Un exemple: est égale à l'aire du trapèze formé par les droites y=x+1 x=1 x=2 et l'axe des abscisses.
Tu peux calculer cette aire en faisant un dessin et en utilisant les formules d'aire vues au collège mais aussi cette intégrale est égale à F(2)-F(1) où F est une primitive de f soit F(x)=x²/2+x.

euh je dirais que je crois

[le_fabien]

euh je dirais que je crois

Non ce n'est pas ça. :triste:

[guigui51250]

Non ce n'est pas ça. :triste:

ah mince je me suis trompé j'ai mis un 2 au lieu de mettre un 1 à la fin ^^ si c'était ça mon erreur le résultat est donc 2.5

[le_fabien]

Oui c'est ça.
Tu peux donc voir l'intérêt des intégrales: determiner des aires sous des courbes complexes...

[guigui51250]

[guigui51250]

Oui c'est ça.
Tu peux donc voir l'intérêt des intégrales: determiner des aires sous des courbes complexes...

ah ouè merci ce n'était pas explique dans mon livre, maintenant je comprends mieux :++:

[busard_des_roseaux]

Salut,

Le but du calcul intégral, c'est de calculer l'aire du domaine plan compris entre
la courbe d'une fonction f (on suppose f positive dans un premier temps)
l'axe X'oX et les droites verticales d'équation X=a et X=b.

Au départ, on calcule cette aire pour des fonctions simples:
1) f=1 sur [a,b] (identiquement 1)
est donc l'aire du rectangle
et vaut
2)f=k sur [a,b] (f constante)
pareil.
est donc l'aire du rectangle
et vaut
3) une fois que l'on a fait ça, on considère des fonctions plus compliquées
à savoir "étagées".
Soit une subdivision de l'intervalle [a,b]
en (n+1) nombres tels que f
soit constante sur chaque intervalle de la subdivision.
alors l'aire sous la courbe vaut:
C'est la somme des aires des rectangles


4) une fois que l'on sait calculer l'intégrale d'une fonctioon étagées,
on s'attaque aux fonctions continues:

exemple
Cette fonction continue n'est pas étagée.
Ce n'est pas grave.
On considère le sup des intégrales
pour toutes les fonctions étagées minorant

et aussi
On considère l'inf des intégrales
pour toutes les fonctions étagées majorant

Ces deux nombres sont égaux dans ce cas. car les variations de f
ne sont pas trop importantes. On définit alors comme ce nombre.

Voilà ce que ça donne pour le calcul de :
on découpe le segment [0,1] en n parties égales:
pour i variant de 0 à n-1.
sur chaque segment, la fonction constante qui approche le mieux f par en dessous vaut et par au dessus vaut
En faisant la somme des différents aires de rectangles, il vient:



On calcule les sommes:



Quand n tend vers l'infini, ie, quand on augmente le nombre de points de la subdivision, on trouve, avec le théorème des gendarmes:



étape 5:

Pour les fonctions continues, on relie le calcul intégral à la recherche de primitive en démontrant la formule (fondamentale)


où F est une primitive quelqconque de f.

exemple:

[Flodelarab]

Pourquoi dit-on faire 3/2 ou faire 5/2 en prépa ?

Car le but de la classe préparatoire aux grandes écoles d'ingénieur est d'intégrer une école d'ingénieur (quel scoop!). Typiquement, polytechnique.
Or le surnom de polytechnique, c'est l'X
On intègre donc X entre 0 et 1 ans, 1 et 2 ans, 2 et 3 ans

[guigui51250]

Pourquoi dit-on faire 3/2 ou faire 5/2 en prépa ?

Car le but de la classe préparatoire aux grandes écoles d'ingénieur est d'intégrer une école d'ingénieur (quel scoop!). Typiquement, polytechnique.
Or le surnom de polytechnique, c'est l'X
On intègre donc X entre 0 et 1 ans, 1 et 2 ans, 2 et 3 ans

mdrrr j'avais jamais vu ça comme ça et cela ne m'aurais jamais venu à l'esprit ^^ comme quoi en plus de calculer des aires, les intégrales servent à intégrer Polytechnique :we:

[busard_des_roseaux]

je ne connaissais pas :++:

[Fanatic]

Busard des Roseaux, ton exposé sur le intégrale est magnifique mais peut-être un peu too much pour un jeune apprenti, non ?
Parler de l'intégrale au sens de Riemann... La petite somme et grande somme de Darboux... On peut aussi introduire la notion de mesure avec Lebesgue...
Quel académicien tu fais ! :++:

[Fanatic]

Excellent exemple pour notre jeune apprenti... :++:
C'est pourtant bien connu...

Pourquoi dit-on faire 3/2 ou faire 5/2 en prépa ?

Car le but de la classe préparatoire aux grandes écoles d'ingénieur est d'intégrer une école d'ingénieur (quel scoop!). Typiquement, polytechnique.
Or le surnom de polytechnique, c'est l'X
On intègre donc X entre 0 et 1 ans, 1 et 2 ans, 2 et 3 ans