Intégration (d'après sujet de bac)

[Liloou]

Bonjour à tous et à toute, j'aimerais attirer votre attention sur un exercice d'intégration en espérant pouvoir bénéficier de votre aide. Je vous remercie d'avance.
L'énoncé est le suivant:
Pour n entier naturel non nul, soit fn la fonction définie sur I=[0, +infini[ par:
fn(x)= (x^n/n!)*e^-x

Soit a un élément non nul fixe dans I. Pour tout entier naturel n, on pose:

In(a)= intégrale de 0 à a de fn(x) dx

1) Calcule I0(a): Cette question ne m'a pas posé de problème j'ai obtenu:
I0(a)=1-e^-a

2) Montrer que, pour tout x de I et pour tout n de N*:
f'(x)=f(n-1)(x)-fn(x) et fn(0)=0
Je n'ai pas rencontrer de problème pour ces deux démonstrations cependant je ne parviens pas à résoudre la question qui suit:
En déduire que, pour tout n>(ou égale) à 1:

In(a)-In-1(a)= (-a^n/n!)*e^-a

Pouvez-vous m'aider??

3) En déduire que pour tout n>0, In(a)=1-(somme de k=0 à n de (a^k/k!))*e^-a
Je pense avoir partiellement trouvé cette question:
I1(a)-I0(a)= (-a^1/1!)*e^-a
donc In(a)= somme de k=1 à n de (-a^k/k!*e^-a)+ I0(a)
donc In(a)= somme de k=1 à n de (-a^k/k!*e^-a)+ 1-e^a

Existe-il une étape intermédiaire avant que j'écrive: In(a)=1-(somme de k=0 à n de (a^k/k!))*e^-a ???

4) Dans cette ustion on pose a=1
On appelle (Un) la suite numérique définie pour tout n appartenant à N par:

Un=1-(somme de k=0 à n de (1/k!))*e^-1= intégrale de 0 à 1 de fn(x) dx

On note Cn la courbe représentative de fn dans le repère orthonormal R (unité graphique 4cm)

a) Montrer que pour tout entier naturel n, Un>ouégal à 0 et donne une interprétation géométrique de Un
Je pense avoir réussi cette question en disant que Un est la surface comprise entre la courbe fn(x) et les verticales x=0 et x=1

b) Montrer que pour tout entier naturel n, et pour tout x appartenant à [0;1]:

fn(x)Pour moi, e^-xor x^n/n!>0
d'ou fn(x)normalement pas de problème
...ce qui n'est pas le cas pour la suite ou j'ai besoin de votre aide:
c) En déduire l'encadrement pour tout entier naturel n:

0
Comment aboutit-ton à Un
puis la limite de Un: en appliquant le théorème du gendarme ce serait 0???

d) Déduire enfin que e= lim quand n->+ infini (somme allant de k=0 à n de 1/k!) Je n'arrive pas du tout à faire cette question

Voilà l'exercice en question dont j'aimerais surtout que vous m'aidier à la 2 et 4 c et d

Je vous remercie d'avance.

[XENSECP]

Bonjour à tous et à toute, j'aimerais attirer votre attention sur un exercice d'intégration en espérant pouvoir bénéficier de votre aide. Je vous remercie d'avance.
L'énoncé est le suivant:
Pour n entier naturel non nul, soit fn la fonction définie sur I=[0, +infini[ par:
fn(x)= (x^n/n!)*e^-x

Soit a un élément non nul fixe dans I. Pour tout entier naturel n, on pose:

In(a)= intégrale de 0 à a de fn(x) dx

1) Calcule I0(a): Cette question ne m'a pas posé de problème j'ai obtenu:
I0(a)=1-e^-a

2) Montrer que, pour tout x de I et pour tout n de N*:
f'(x)=f(n-1)(x)-fn(x) et fn(0)=0
Je n'ai pas rencontrer de problème pour ces deux démonstrations cependant je ne parviens pas à résoudre la question qui suit:
En déduire que, pour tout n>(ou égale) à 1:

In(a)-In-1(a)= (-a^n/n!)*e^-a

Pouvez-vous m'aider??

3) En déduire que pour tout n>0, In(a)=1-(somme de k=0 à n de (a^k/k!))*e^-a
Je pense avoir partiellement trouvé cette question:
I1(a)-I0(a)= (-a^1/1!)*e^-a
donc In(a)= somme de k=1 à n de (-a^k/k!*e^-a)+ I0(a)
donc In(a)= somme de k=1 à n de (-a^k/k!*e^-a)+ 1-e^a

Existe-il une étape intermédiaire avant que j'écrive: In(a)=1-(somme de k=0 à n de (a^k/k!))*e^-a ???

4) Dans cette ustion on pose a=1
On appelle (Un) la suite numérique définie pour tout n appartenant à N par:

Un=1-(somme de k=0 à n de (1/k!))*e^-1= intégrale de 0 à 1 de fn(x) dx

On note Cn la courbe représentative de fn dans le repère orthonormal R (unité graphique 4cm)

a) Montrer que pour tout entier naturel n, Un>ouégal à 0 et donne une interprétation géométrique de Un
Je pense avoir réussi cette question en disant que Un est la surface comprise entre la courbe fn(x) et les verticales x=0 et x=1

b) Montrer que pour tout entier naturel n, et pour tout x appartenant à [0;1]:

fn(x)0
d'ou fn(x)+ infini (somme allant de k=0 à n de 1/k!) Je n'arrive pas du tout à faire cette question

Voilà l'exercice en question dont j'aimerais surtout que vous m'aidier à la 2 et 4 c et d

Je vous remercie d'avance.

Tout ça ? Hum pas maintenant ni ici

[Liloou]

C'est à dire?? :)

[Liloou]

Personne ne peut m'aider pour la question 2 ???

[emcee]

Tente une intégration de In par parties en utilisant "intelligemment" les 2 résultts que tu viens d'obtenir

[Liloou]

Je te remercie de ta réponse mais le problème en fait c'est que je ne vois pas le rapport entre In(a)-In-1(a)=... et f'(x)=f(n-1)(x)-fn(x)
Pour moi je pense qu'on aurait dû plutot calculer fn(x)-f(n-1)(x) sachant que f'(x)=F la primitive....
Donc je ne vois ps le rapport, peux-tu m'aider à le trouver?

[emcee]

J'ai testé une int par parties de In(a) en posant u=x^n / n! et v' = e^-x
Tu dois voir apparaître In-1(a) "naturellement"

[emcee]

effectivement il y a plus simple :briques:

tu as trouvé
intègre cette égalité entre 0 et a ...

[emcee]

pour la 3), je ferais une démo par récurrence (bcp plus propre)

4a,b OK

4c es tu sure de l'énoncé ??? je dirais plutôt 0 <= un <= 1/n!
et pour montrer ça, il suffit d'utiliser la positivité de l'intégrale :
si pour tout x de [a;b], f(x) < m, alors l'intégrale de a à b de f est < (b-a)*m

ensuite le th des gendarmes, OK, ça converge vers 0

4d du coup tu sais que un = 1-(somme de ...)*e^-1 tend vers 0, donc en bidouillant un peu tu peux conclure que la somme ... tend vers e.

[Liloou]

Dons selon toi je devrais faire l'intégrale de 0 à a de fn-1(x)-fn(x) dx

donc ca ferait l'intégrale de 0 à a de (n*x^(n-1)*e^(-x)-x^n*e^(-x))/n!

Mais en remplaçant les x par a (vu qu'en remplaçant les x par 0 ça s'annule) on obtient pas l'expression???

[Liloou]

oui pour la 4c je suis sur de l'énoncé et je ne comprend pas d'ou viens d'ailleur ce (n+1)!

[emcee]

Dons selon toi je devrais faire l'intégrale de 0 à a de fn-1(x)-fn(x) dx

donc ca ferait l'intégrale de 0 à a de (n*x^(n-1)*e^(-x)-x^n*e^(-x))/n!

Mais en remplaçant les x par a (vu qu'en remplaçant les x par 0 ça s'annule) on obtient pas l'expression???

" l'intégrale de 0 à a de fn-1(x)-fn(x) dx " : ce serait pas égal à In(a) - In-1(a) par hasard ?

et de l'autre côté, ça ferait pas "intégrale de 0 à a de fn'(x) dx" ... ?

[emcee]

oui pour la 4c je suis sur de l'énoncé et je ne comprend pas d'ou viens d'ailleur ce (n+1)!

ça y est, j'y suis

tu as montré que pr tt x, fn(x) <= x^n / n!

comme tout ça est positif, tu peux en déduire que l'intégrale de 0 à 1 de fn est inférieure à l'intégrale de 0 à 1 de x^n / n!
(c'est encore la positivité de l'intégrale)

et avec qqs calculs en déduire un <= 1/(n+1)!

[Liloou]

je pense que oui sinon il n'y aurait pas de rapport mais pourquoi j'obtiens

(n*a^(n-1)*e^(-a)-a^n*e^(-a))/n! ?? je sais qu'il fat utiliser cela mais je ne cmprend pas mon résultat :(

[emcee]

ne développe pas fn et fn-1

intégrale de (fn-fn-1) = intégrale de fn - intégrale de fn-1
= In - In-1

[Liloou]

je dois donc dabord calculer l'intégrale de fn puis celui de f(n-1) et ne pas utilier le calcul f(n-1)-f(n)=....???

[emcee]

reprenons :jap:

on te demande de prouver que In(a) - In-1(a) = qqchose
il ne faut pas essayer de calculer ces intégrales, d'une part on ne le demande pas, d'autre part c'est pas sûr qu'on puisse.

Tu sais juste que pr tt x : fn'(x) = fn(x) - fn-1(x).
1) Calcule l'intégrale de 0 à a de f'n(x), en utilisant le fait qu'une primitive de f'n est fn

2) Exprime l'intégrale de 0 à a de f'n(x), en utilisant l'égalité ci-dessus, en utilisant la définition de In(a) et In-1(a).

Tu aboutis ensuite en comparant 1) et 2) à ce qu'on te demande de démontrer.

[Liloou]

justement non f'(x)=fn-1(x)-fn(x), c'est ça qui m'embrouille alors qu'on veut In-In-1

[emcee]

justement non f'(x)=fn-1(x)-fn(x), c'est ça qui m'embrouille alors qu'on veut In-In-1

"justement non " ?

si : fn'(x)=fn-1(x)-fn(x)


je ne vois pas ce qui te bloque ?